构造函数利用导数证明不等式2

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1、构造函数，利用导数证明不等式(2)问题背景根据题目的结构特征，构造适当的函数，利用导数作为工具，达到最终证明不等式的目的，是近几年高考中的常考题型.二、常见的方法主元法、换元之后构造、将不等式变形后构造、利用熟悉的结论构造等；主要思想：等价转化思想、数形结合、化归思想等.三、范例例1已知函数/(x)=Inx(x>0).(1)设g(x)=xf(x)f求函数y=g(x)的极值;(2)判断函数h(x)=x2f(x)-^-x的单调性,并证明;(3)若对任意两个互不相等的正数西,忑，都有/(和_/也)<幼，(肩^)恒成立，求实数£的最小值.【思路】不等式证

2、明的关键是令^=1实施换元，通过构造函数，利用导数工具来证明.【解答】⑴g(x)=xlnx,g'(x)=lnx+1,由g'(x)=0得兀=一.X(0,-)e1e(一，+°°)efx)—0+f(x)1e/从上表屮可知，y=g(x)的极小值为§(-)=--,无极大值.ee⑵函数/z(x)在(0,+oo)的单调递增.2h(x)=xlnx+x,h=2xlnx+x+l由⑴可知,g(x)=xlnx>-—,且x>0e/?'(x)=2xlnx+x+l>0・•・函数h(x)=x2f(x)+无在(0,+oo)的单调递增.⑶不妨齡5,厂(兀)=丄，〈灯曲o业如v亠

3、令=tf则")o2ln/v£(r-l),(r>1)设0(/)=£(/-1)一21卄,则原命题等价于(p⑴二纵/一-)一2In/>0在(1,+oo)上恒成立.0(。=kt2-lt+k2①当R50吋，^V)<0,②当£>0时，0⑴在(l,+oo)上单调递减,0(门<0(1)=0,不符合题意;(i)当△=4-4k2<0，即心时,(pt)>0,(P®在(1,+8)上单调递增，(p(t)>0(1)=0,故符合题意;(ii)当00,设方程kr-2t^-k=0的两根分别为片,t2且r,

4、，00)50,当te[r2,+oo)时，(pt)>0.所以0(/)在(l,r2]±单调递减，在[r2,+oo)上单调递增，故°(/2)v0(l)=O,与0(『)>0在(l,+oo)上恒成立矛盾，故01不符合题意.综上可知实数£的最小值为1.例2已知函数f(x)=lnx-x-a(x>Q),其中a>0・⑴求函数力(兀)=+X2-OY+((7-l)lnX的单调递增区间；⑵若函数几兀)有两个零点召,兀2,且X.

5、)/?(%)=6?lnx+—x2-(a+)x-va,定义域为(0,+8)且a>(),2厂“,xCI/八x~-(d+l)x+d(兀一d)(兀一1)因为/『(兀)二_+兀_(°+1)=————=-——，XXX①当d=l时，hx)>0恒成立，所以加兀)的单调递增区间为(0,+oo);②当&>1时,所以方(兀)的单调递增区间为(0,1)或(a,+oo)；③当0

6、f(x)+0—/(兀)7-lncz-1这时，/(兀)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,4-00).当无大于0且无限趋近于0时，/(X)的值无限趋近于-OO；当X无限趋近于F时，/(X)的值无限趋近于-oo.所以/(兀)要有两个零点，须满足/(1)>0,即IndV—l,所以Q的取值范围是(0,e-).因为兀］,兀2是函数/(兀)的两个零点，即In%,-x,-In«=0,Inx2-x2-Intz=0,则心,a=^.因为f()=-a-1且^6(0,^'),则得x岸(0,1),兀w(l,+2>•eeX1—r设F(x)=—,则Fx)

7、=,ee所以F(x)在(0,1)上单调递增，在(l,+oo)上单调递减.对于任意的a}9a2e(0,e_I),且ax>a2,设F(6)=FG)=q,其中0«vlv.F(〃J=F(z)=q2,其中0v〃］Vlv%；因为F(兀)在(0,1)上单调递增，故由a,>a2,即F($)>F5J,可得勺>从；类似可得盘V〃2•由6>〃>0，则云~<'所以•bi"1SiX所以，么随d的增大而减小.四、练习题1ny4-i.已知函数/©)=竺y(其屮kwR,£是自然对数的底)，/©)为/(兀)导函数.(1)当k=2时，求曲线y=f［x)在点(1,/(1))处的切线方

8、程；(2)若xg(0,1］时，门兀)=0都有解，求Z:的取值范围；/、^-2+1(3)若厂(1)=(),试证明：对任意x>0,—恒成立.