解题--浅谈利用导数证明不等式中的函数构造法-欧阳志.doc

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1、《教学考试》浅谈利用导数证明不等式中的函数构造法江西省新余市第一中学欧阳志利用导数证明不等式是近几年高考命题的一种热点题型．利用导数证明不等式，关键是要找出与待证不等式紧密联系的函数，然后以导数为工具来研究该函数的单调性、极值、最值（值域），从而达到证明不等式的目的．本文以近几年高考试题为研究背景，阐述利用导数证明不等式中常用的六种构造函数的方法．一、直接构造函数【例1】（2011全国卷Ⅱ理改编）求证：当＞0时，．【证明】令，∵，∴，即函数在单调递增.当时，，故当＞0时，＞0.【评注】由于不等号的右边为零，可以直接把不等号的

2、左边部分构造成函数，又，不等式的证明即转化为用导数证明函数（＞0）的取值大于0．二、作两函数的差，构造新函数【例2】（2012辽宁文）设，证明：（1）当时，，（2）当时，．【证明】（1）令，当时，，又，有，即．（2）令，令，则当时，，因此在内是递减函数，又因，得，所以．4因此在内是递减函数，又因，得，于是当时，．【评注】⑴对于形如（）的不等式的证明，可以利用作差法构造函数；⑵在判断函数的单调性过程中，可对不能直接确定正负号的部分再次构造函数直至能确定为止，如本例（2）中构造的．三、对不等式取对数化简后构造函数【例3】设，求证

3、：．【证明】要证，只需证，即证．令，当时，，所以在上递增，又因．所以，即．综上．【评注】此题通过取对数把不等式进行等价变形后构造函数，这样就给求导得出函数的单调性带来了简便，从而达到证明不等式的目的．四、通过换元构造函数，简化运算过程【例4】已知，求证：.【证明】要证，只需证，即证．令，∵，∴，即只需证成立．构造函数，∵∴当＞１时，＜０．即在单调递减，又∴，证毕．【评注】对待证不等式等价变形为后，换元成证明构造函数来证明原不等式，简化了证明过程中的运算.五、根据等价转化后不等式的特征构造函数【例5】（2010年辽宁文）已知函

4、数.（1）讨论函数的单调性；K^S*5U.C#（2）设，证明：对任意，4.【解析】（1）略.(2)假设x1≥x2.由于a≤－2,由（1）可知f(x)在（0，+）单调减少.所以等价于，.令则＝＝≤0.从而在（0，+）单调减少，故g(x1)≤g(x2)，即　f(x1)+4x1≤f(x2)+4x2，故对任意x1,x2∈(0,+)，.　【评注】本题利用单调性把等价为，通过构造函数，把原不等式的证明转化为我们熟悉的证明上来，给人柳岸花明又一村的感觉.六、选取待证不等式的部分构造函数【例6】（2012年山东理）已知函数（为常数)，曲线在

5、点处的切线与轴平行.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求的单调区间；(Ⅲ)设，其中为的导函数.证明：对任意.【解析】(Ⅰ)略.(Ⅱ)略.(Ⅲ)由(Ⅰ)知，，.∵，∴，.因此对任意等价于.令，，∴，，因此当时，，单调递增；当时，，单调递减.∴的最大值为，故.令，∵，∴当时，，单调递增，，故当时，，4即.∴.综上，对任意，.【评注】本题不是对直接来构造函数，而是将其等价变换成后，进而分别利用和来构造函数，达到证明原不等式的目的.4