导数法证明不等式的函数构造

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1、是异面直线分析此题若从正面出发,用定理法证明导数法证明不等式的函数构造两直线为异面直线,在说理上较为麻烦,因此,可以考虑从反面去论证.证明假设AB、CD不是异面直线,设福建师大数学与计算机科学学院02级陈建英AB、CD共面于α,则ABCD,,,∈α.∵A∈∈aDa,,∴a∈α,应用导数证明不等式是导数的一个重要∵P∈a,∴P∈α,应用,是不等式证明的一种新方法.导数法证则PB⊂α、PC⊂α,即b⊂α、c⊂α明不等式就是根据原不等式的结构特点,构∴a、b、c共面于α,这与已知矛盾.所造适当的函数,进而通过求导考察

2、函数的单以AB、CD是异面直线.调性或最值,再利用函数的单调性或最值来注在解决空间点线、线线、线面、面面证明不等式.导数法证明不等式的关键是构等关系时,若从正面论证较为困难或繁琐,可造函数,本文举例说明构造函数的几种方法,考虑从反面去解决.供参考.2x221对于(或可化为)左右两边结构相同的例10若椭圆+yaa=>(0)与连接2不等式,构造函数f()x,使原不等式成为形如A(1,2)−、B(3,4)−两点的线段没有公共点,求f()afb>()的形式.a的取值范围.例1证明分析本题正面解答,需讨论A、B两点22π

3、sinππ+>cos2πsinπ+cosπ.与椭圆的位置关系,若从问题的反面即有公555555分析题中2/5π、π/5不是特殊角,若用共点出发,则可避免分类讨论.传统方法证明将会很困难,考虑到原不等式解设椭圆和线段AB有公共点,由A、B两边的结构相同,分别是xsinxx+cos,当坐标,通过两点式方程,可写成yx=+1,[x∈1,x=2/5π、π/5时的值,为此构造函数222⎧x/2+=yaf()xxx=sin+cosx来证.3]由方程组⎨得,⎩yx=+1证明构造函数f()xxx=+sincosx,则22ax=

4、+3/221x+x∈[1.3].f'()xx=sin+−=xcosxxsinxcosx.9421∵当x∈(0,/2)π时,'fx()0>,可求得≤≤a,22∴f()x在(0,/2)π上是增函数.32822ππ2ππ∴≤≤a,由a>0,又>,∴ff()()>即原不等式22555582成立.∴椭圆与线段AB无公共点时,a>ba2例2(1)设eab<<,求证ab>;(2)若ab,ba32>0,ab=,且a<1,则ab=.(1983年全国高或0<

5、>⇔naabb/>ln/要模式,它施用的范围很广,可以说是一个“通lnx1ln−x构造函数fx()=,则fx'()=.2法”,凡直接证明感到困难时就应该想到它.xx(1)当x>e时,'fx()0<,·22·∴f()x在(,)e+∞上是减函数.∴hx'()<0,()hx在[2,+∞)上为减函数,ba又1(),即ab>.nm(2)当01<,∴hm()()>hn即(1+>+mn)(1).∴f()x在(0,1)上是增函数.2对形如f(

6、)xgx>()的不等式,构造函数由01<得ab<1,则baab=<1,Fx()=fxgx()−().从而01<−xxba26若ab>,则f()afb>(),即ab>;(第3届“希望杯”数学邀请赛试题)ba若ab<,则f()afb<(),即ab<,这都13ba证明构造函数Fx()sin=−−xx(x),与ab=矛盾,故ab=.6注:本题(2)利用反证法把等式的证明转12则Fx'()=−cosx1+x化为不等式的证明.2例3已知i、m、n

7、是正整数,且1mn22m(1+n).(2001年全国高考题)πxx又由0>sin0,证明(1)nAii<⇔0,构造函数f()xAx=/nπxx(1−−)("xi+1)∴Fx()在(0,)上是增函数.=<(1ix≤),2ix又F(0)=0且Fx()在[0,/2)π上连续,记g()ln()xf=x3∴FxF()>=(0)0即sinxxx>−/6

8、.=+−++−lnxln(xx1)"ln(i+−1)ilnx,1111i例5已知x>−1,求证1l−≤+n(1x)则gx'()=+++"−1+xxxx−−11i+xi个≤x.(2004年广州一模)111i证明对右边的不等式构造函数Fx()=>+++−="0.xxnnln(1+xxx)−>(−1),∴g()x在[,i+∞)上是增函数,从而f()x1x则Fx'()=−1=−.在[