资源描述:
《导数证明不等式构造函数法类别(教师版)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、导数证明不等式构造函数法类别1、移项法构造函数【例1】已知函数,求证:当时,恒有分析:本题是双边不等式,其右边直接从已知函数证明,左边构造函数,从其导数入手即可证明。【解】∴当时,,即在上为增函数当时,,即在上为减函数故函数的单调递增区间为,单调递减区间于是函数在上的最大值为,因此,当时,,即∴(右面得证),现证左面,令,当,即在上为减函数,在上为增函数,故函数在上的最小值为,∴当时,,即∴,综上可知,当2、作差法构造函数证明【例2】已知函数求证:在区间上,函数的图象在函数的图象的下方;分析:函数的图象在函数的图象的下方问题,即,只需证明在区间上,恒有成立,设,,考虑到要证不等式转化变为:当
2、时,,这只要证明:在区间是增函数即可。【解】设,即,6则=当时,=从而在上为增函数,∴∴当时,即,故在区间上,函数的图象在函数的图象的下方。3、换元法构造函数证明【例3】(2007年,山东卷)证明:对任意的正整数n,不等式都成立.分析:本题是山东卷的第(II)问,从所证结构出发,只需令,则问题转化为:当时,恒有成立,现构造函数,求导即可达到证明。【解】令,则在上恒正,所以函数在上单调递增,∴时,恒有即,∴对任意正整数n,取【警示启迪】当在上单调递增,则时,有.如果=,要证明当时,,那么,只要令=-,就可以利用的单调增性来推导.也就是说,在可导的前提下,只要证明0即可.4、从条件特征入手构造函
3、数证明【例4】若函数y=在R上可导且满足不等式x>-恒成立,且常数a,b满足a>b,求证:a>b【解】由已知x+>0∴构造函数,则x+>0,从而在R上为增函数。∴即a>b【警示启迪】由条件移项后,容易想到是一个积的导数,从而可以构造函数6,求导即可完成证明。若题目中的条件改为,则移项后,要想到是一个商的导数的分子,平时解题多注意总结。5、主元法构造函数例.(全国)已知函数(1)求函数的最大值;(2)设,证明:.证明:对求导,则.在中以b为主变元构造函数,设,则.当时,,因此在内为减函数.当时,,因此在上为增函数.从而当时,有极小值.因为所以,即又设.则.当时,.因此在上为减函数.因为所以,即
4、.6、构造二阶导数函数证明导数的单调性例.已知函数(1)若f(x)在R上为增函数,求a的取值范围;(2)若a=1,求证:x>0时,f(x)>1+x解:(1)f′(x)=aex-x,∵f(x)在R上为增函数,∴f′(x)≥0对x∈R恒成立,即a≥xe-x对x∈R恒成立记g(x)=xe-x,则g′(x)=e-x-xe-x=(1-x)e-x,当x>1时,g′(x)<0,当x<1时,g′(x)>0.知g(x)在(-∞,1)上为增函数,在(1,+∞)上为减函数,∴g(x)在x=1时,取得最大值,即g(x)max=g(1)=1/e,∴a≥1/e,即a的取值范围是[1/e,+∞)(2)记F(X)=f(x)
5、-(1+x)=则F′(x)=ex-1-x,令h(x)=F′(x)=ex-1-x,则h′(x)=ex-1当x>0时,h′(x)>0,∴h(x)在(0,+∞)上为增函数,又h(x)在x=0处连续,∴h(x)>h(0)=0即F′(x)>0,∴F(x)在(0,+∞)上为增函数,又F(x)在x=0处连续,∴F(x)>F(0)=0,即f(x)>1+x.67.对数法构造函数(选用于幂指数函数不等式)例:证明当8.构造形似函数例:证明当例:已知m、n都是正整数,且证明:【思维挑战】61、设求证:当时,恒有2、已知定义在正实数集上的函数其中a>0,且,求证:3、已知函数,求证:对任意的正数、,恒有4、是定义在
6、(0,+∞)上的非负可导函数,且满足≤0,对任意正数a、b,若a