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《导数证明不等式构造函数法类别(教师版)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、导数证明不等式构造函数法类别1、移项法构造函数【例1】已知函数，求证：当时，恒有分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数，从其导数入手即可证明。【解】∴当时，，即在上为增函数当时，，即在上为减函数故函数的单调递增区间为，单调递减区间于是函数在上的最大值为，因此，当时，，即∴（右面得证），现证左面，令，当，即在上为减函数，在上为增函数，故函数在上的最小值为，∴当时，，即∴，综上可知，当2、作差法构造函数证明【例2】已知函数求证：在区间上，函数的图象在函数的图象的下方；分析：函数的图象在函数的图象的下方问题，即，只需证明在区间上，恒有成立，设，，考虑到要证不等式转化变为：当
2、时，，这只要证明：在区间是增函数即可。【解】设，即，6则=当时，=从而在上为增函数，∴∴当时，即，故在区间上，函数的图象在函数的图象的下方。3、换元法构造函数证明【例3】（2007年，山东卷）证明：对任意的正整数n，不等式都成立.分析：本题是山东卷的第（II）问，从所证结构出发，只需令，则问题转化为：当时，恒有成立，现构造函数，求导即可达到证明。【解】令，则在上恒正，所以函数在上单调递增，∴时，恒有即，∴对任意正整数n，取【警示启迪】当在上单调递增，则时，有．如果＝，要证明当时，，那么，只要令＝－，就可以利用的单调增性来推导．也就是说，在可导的前提下，只要证明０即可．4、从条件特征入手构造函
3、数证明【例4】若函数y=在R上可导且满足不等式x>－恒成立，且常数a，b满足a>b，求证：a>b【解】由已知x+>0∴构造函数，则x+>0，从而在R上为增函数。∴即a>b【警示启迪】由条件移项后，容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数6，求导即可完成证明。若题目中的条件改为，则移项后，要想到是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结。5、主元法构造函数例．（全国）已知函数(1)求函数的最大值；(2)设,证明：.证明：对求导,则.在中以b为主变元构造函数,设,则.当时，,因此在内为减函数.当时,,因此在上为增函数.从而当时,有极小值.因为所以,即又设.则.当时,.因此在上为减函数.因为所以,即
4、.6、构造二阶导数函数证明导数的单调性例．已知函数(1)若f(x)在R上为增函数,求a的取值范围;(2)若a=1,求证:x＞0时,f(x)>1+x解：(1)f′(x)＝aex－ｘ，∵ｆ（ｘ）在Ｒ上为增函数，∴f′(x)≥０对ｘ∈Ｒ恒成立，即ａ≥ｘｅ-ｘ对ｘ∈Ｒ恒成立记ｇ（ｘ）＝ｘｅ-ｘ，则ｇ′(ｘ)＝ｅ-ｘ－ｘｅ-ｘ=(1-x)e-x，当ｘ＞１时，ｇ′（ｘ）＜０，当ｘ＜１时，ｇ′（ｘ）＞０．知ｇ（ｘ）在(-∞,1)上为增函数,在(1,+∞)上为减函数,∴g(x)在x=1时,取得最大值，即g(x)max=g(1)=1/e,∴a≥1/e,即a的取值范围是[1/e,+∞)(2)记F(X)=f(x)
5、－(1+x)=则F′(x)=ex-1-x,令h(x)=F′(x)=ex-1-x,则h′(x)=ex-1当x>0时,h′(x)>0,∴h(x)在(0,+∞)上为增函数,又h(x)在x=0处连续,∴h(x)>h(0)=0即F′(x)>0,∴F(x)在(0,+∞)上为增函数,又F(x)在x=0处连续,∴F(x)>F(0)=0,即f(x)>1+x．67.对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式）例：证明当8.构造形似函数例：证明当例：已知m、n都是正整数，且证明：【思维挑战】61、设求证：当时，恒有2、已知定义在正实数集上的函数其中a>0，且，求证：3、已知函数，求证：对任意的正数、，恒有4、是定义在
6、（0，+∞）上的非负可导函数，且满足≤0，对任意正数a、b，若a
