构造函数利用导数证明不等式.docx

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1、构造函数，利用导数证明不等式(2)一、问题背景根据题目的结构特征，构造适当的函数，利用导数作为工具，达到最终证明不等式的目的，是近几年高考中的常考题型．二、常见的方法主元法、换元之后构造、将不等式变形后构造、利用熟悉的结论构造等；主要思想：等价转化思想、数形结合、化归思想等．三、范例例1已知函数．（1）设，求函数的极值；（2）判断函数的单调性，并证明；（3）若对任意两个互不相等的正数，都有恒成立，求实数的最小值．【思路】不等式证明的关键是令实施换元，通过构造函数，利用导数工具来证明．【解答】⑴，，由得．0↘↗从上表中可知，的极小值为，无极大值．⑵函数

2、在的单调递增．，由⑴可知，，且∴∴函数在的单调递增．⑶不妨设，，（*）令，则（*），设，则原命题等价于在上恒成立．①当时，，在上单调递减，，不符合题意；②当时，(i)当，即时，，在上单调递增，，故符合题意；(ii)当时，，设方程的两根分别为且，则，且当时，，当时，．所以在上单调递减，在上单调递增，故，与在上恒成立矛盾，故不符合题意．综上可知实数的最小值为．例2已知函数，其中．⑴求函数的单调递增区间；⑵若函数有两个零点，且，求实数的取值范围，并证明随的增大而减小．【思路】处理函数零点问题重要的抓住函数的图像特征，并利用导数进行刻画．【解答】（1），定义

3、域为且，因为，①当时，恒成立，所以的单调递增区间为；②当时，所以的单调递增区间为或；③当时，所以的单调递增区间为或．（2）由，得．当变化时，、的变化如下表：1＋0－↗↘这时，的单调递增区间是，单调递减区间是．当大于0且无限趋近于0时，的值无限趋近于；当无限趋近于时，的值无限趋近于．所以要有两个零点，须满足>0，即，所以的取值范围是．因为是函数的两个零点，即，，则，．因为且，则得．设，则，所以在上单调递增，在上单调递减．对于任意的，且，设，其中；，其中；因为在上单调递增，故由，即，可得；类似可得．由，则，所以．所以，随的增大而减小．四、练习题1．已知函

4、数（其中，是自然对数的底），为导函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若时，都有解，求的取值范围；（3）若，试证明：对任意，恒成立．2．设函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）设是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当时，证明：．3．已知函数在点（为自然对数的底数）处的切线斜率为3．（1）求实数的值；（2）若，且对任意恒成立，求最大值；（3）当时，证明．五、练习解答1．【思路】第（3）题中证明不等式时，需要将待证式进行变形，通过构造函数，利用导数作为工具来解决．【解答】（1）由得，，所以曲线在点处的切线斜率为，，曲线切

5、线方程为，即．（2）由得，令，，，所以在上单调递减，又当趋向于时，趋向于正无穷大，故，即．（3）由，得，令，所以，，因此，对任意，等价于，由，，得，，因此，当时，，单调递增；时，，单调递减，所以的最大值为，故．设，，所以时，，单调递增，，故时，，即，所以．因此，对任意，恒成立．2．【思路】（Ⅰ）利用一阶导数的符号来求单调区间．（Ⅱ）对进行分类讨论，的极值．（Ⅲ）把证明不等式转化求函数的最小值大于0．【解答】（Ⅰ）．令，即，得，故的增区间为；令，即，得，故的减区间为；∴的单调增区间为，的单调减区间为．（Ⅱ），当时，恒有∴在上为增函数，故在上无极值；当时

6、，令，得,当单调递增，当单调递减．∴，无极小值；综上所述：时，无极值；时，有极大值,无极小值．（Ⅲ）证明：设则即证，只要证．∵∴，又在上单调递增∴方程有唯一的实根，且．∵当时，；当时，．∴当时，．∵即，则，∴，∴命题得证．3．【思路】第（3）题要证，只需证即证从而得到证明；也可以构造函数．【解答】（1）因为，所以．因为函数的图像在点处的切线斜率为3，所以，即，所以．（2）由（1）知，，所以对任意恒成立，即对任意恒成立．令，则，令，则，所以函数在上单调递增．因为，所以方程在上存在唯一实根，且满足．当，即，当，即，所以函数在上单调递减，在上单调递增．所以

7、．所以．故整数的最大值是3．（3）方法一：由（2）知，是上的增函数，所以当时，．即整理，得．因为所以即即．所以．方法二：构造函数，则．因为，所以．所以函数在上单调递增．因为，所以所以，即即所以．