导数的应用4——构造函数证明数列不等式.doc

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1、导数的应用（四）——构造函数证明数列不等式例1（选讲或练习）：求证+++…+分析：令则只需证明构造函数则=>0,函数在(0,+)上单调递增。所以当时，有>f(0)=0，即有有,,，…，故：+++……+>+++……+即+++……+思考：为何要把化为？参考：同样分析只需证构造函数：则在[1,）上为减函数时>…>由于没学过极限方法，所以建议用法一。一般若最值是x在无穷处的极限时，可考虑用t=代换构造新函数，若函数含分式且在分母X=0处极限为最值时也可用t=代换构造新函数一般把目标化为证明：的形式，然后由于导数证明的最小值仅为注：常用函数不

2、等关系<，用时需用导数证明，当且仅当x=0时取=例2．已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）证明：①上恒成立解：（1）函数…………………（1分）当时，则上是增函数…②(重点讲练)……（2分）当时，若时有………（3分）若时有则上是增函数，在上是减函数……………………（5分）（2）法一：由（I）知时递增，而不成立，故……………………………………（7分）又由（I）知，要使恒成立，则即可。由……………（9分）解法二（分离变量法）：（3）①证明；由（2）知，当时有恒成立，且上是减函数，，恒成立即恒成立。

3、……（11分）②证明：令，则，即，从而，成立……（14分）反思：如何想到证明？关键是用分析法把右边看作和展开为n项，再大胆尝试通项比较。记，则（由等差性质知为等差数列），要证等式的首项都为0，都从第二项开始，所以只需证法二：可考虑构造函数证其为增函数.例3、设函数．（I）求函数的极值点，并判断其为极大点还是极小值点；（II）证明：（利用p=1时II的结论）．【答案】解：（1），，…………2分令的变化情况如下表：x(0，)+0－↗极大值↘从上表可以看出：当p>0时，有唯一的极大值点．…………5分（II）令p=1，由（I）知有唯一的极大

4、值点,所以此时有最大值(当且仅当x=1时取”=”号)∴，∴…………11分∴∴结论成立．…………14分反思：要证式的右边为,则只需证注：先考虑利用放缩法及常用函数，否则直接构造函数证明过于繁难。例4已知函数（１）试判断函数的单调性，并说明理由；（２）若恒成立，求实数的取值范围；（３）求证：.(阶乘本质是数列前n项积的问题，可先证两边取对数的式子，即化为前n项和的问题)解：（1）  故在递减…3分  （2） 记………5分   再令   在上递增。 ，从而 故在上也单调递增………8分（3）方法1： 由（2）知：恒成立，即  令 则 ………

5、10分  ，， ,…,……12分   叠加得：  ……14分方法2：用数学归纳法证明（略）。例5（选讲）、已知函数的最小值为,其中.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若对任意的,有成立,求实数的最小值;(Ⅲ)证明.（利用（2）的结论答案：(1)的定义域为得：时，（2）设则在上恒成立（*）①当时，与（*）矛盾②当时，符合（*）得：实数的最小值为（3）由（2）得：对任意的值恒成立取：当时，得：当时，得：例6（培优用）已知函数（1）当且时，证明：；（2）若对，恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，证明：．.（1）证明：要证，即证，-----------

6、---------1分令则------------3分∴在单调递增，，，即成立．----------------------4分（2）解法一：由且可得---------------------------------------5分令---------------------------------------------------------6分由（1）知-----------------------------------8分函数在单调递增，当时，．---------------------------------------

7、-------------------9分【解法二：令，则，-------------------5分当时，，函数在上是增函数，有，------6分当时，∵函数在上递增，在上递减，对，恒成立，只需，即．---------------7分当时，函数在上递减，对，恒成立，只需，而，不合题意，-----------------------------------------------------------8分综上得对，恒成立，．------------------------9分】【解法三：由且可得---------------5分由

8、于表示两点的连线斜率，-----------------6分由图象可知在单调递减，故当时，--------------------------------8分即-------------------------------------