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时间:2020-06-21
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1、导数在研究函数中的应用4——利用导数研究不等式证明1、当时,证明不等式解:构造函数。2、①当时,证明不等式;②为正的常数,当时,曲线上有两点,试证明过点的的切线与过点的的切线的交点的横坐标是正的。解:(1)构造函数。当时,,所以,函数在区间内是单调递减函数,于是,即成立。(2)因为,所以。过点的切线方程为:和由此解出,设,因为所以,,且有。于是,因此,,由(1)的不等式及,有。所以,过点的的切线与过点的的切线的交点的横坐标是正的。3、设,函数。(1)令,讨论在内的单调性并求极值;(2)求证:当时,恒有。第5页共5页解:(1)根据求导法则有,故,于是,列表如下:
2、故知在内是减函数,在内是增函数,所以,在处取得极小值。(2)证明:由知,的极小值;于是由上表知,对一切,恒有;从而当时,恒有,故在内单调增加;所以当时,,即;故当时,恒有。4、已知函数。(1)求函数的单调递减区间;(2)若,证明:。解:(1)函数的定义域为。==由及,得。∴当时,是减函数,即的单调递减区间为。(2)由(1)知,当时,,当时,,所以,是的最大值。因此,当时,,即,所以。第5页共5页构造函数,则=。∴当时,,当时,。所以,是的最大值。∴当时,,即,∴。综上可知,当时,有。5、已知定义在正实数集上的函数,,其中。设两曲线,有公共点,且在该点处的切线相
3、同。 (1)用表示,并求的最大值;(2)求证:。解:(1)设与在公共点处的切线相同,,由题意,,即由得:,或(舍去),即有;令,则,于是当,即时,,当,即时,,故在为增函数,在为减函数,第5页共5页于是在的最大值为。(2)设,则;故在为减函数,在为增函数,于是函数在上的最小值,故当时,有,即当时,。6、已知函数。(1)求函数的单调区间和极值;(2)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称,证明当时,;(3)如果,且,证明。解:(1),令,则。当变化时,的变化情况如下表,略所以在区间内是增函数,在区间内是减函数;函数在处取得极大值且。(2)因为函数的图象与函数的图
4、象关于直线对称,所以,于是。记,则,,当时,,从而,又,所以,于是函数在区间上是增函数,因为,所以,当时,,因此。(3)若,由(1)及,得,与矛盾;第5页共5页若,由(1)及,得,与矛盾;则。不妨设。由(2)可知,所以。因为,所以,又,由(1),在区间内是增函数,所以,即。第5页共5页
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