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时间:2018-11-25
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1、导数在研究函数中的应用 编稿;周尚达 审稿:张扬 责编:严春梅目标认知学习目标: 1.会从几何直观了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间 (多项式函数一般不超过三次). 2.了解函数在某点取得极值的必要条件(导数在极值点两端异号)和充分条件();会用 导数求函数的极大值、极小值(多项式函数一般不超过三次). 3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(多项式函数一般不超过三次).重点: 利用导数判断函数的单调性;会求一些函数的极值与最值。难点: 函数极值与最值的区别与联系.利用导数在解决函数问
2、题时有关字母讨论的问题.学习策略: ①理解导函数的符号与函数单调性之间的必然关系。 ②数形结合,体会函数极值与最值的含义。 ③紧紧抓住导函数为0的点,讨论函数的单调区间、极值和最值。知识要点梳理知识点一:函数的单调性(一)导数的符号与函数的单调性: 一般地,设函数在某个区间内有导数,则在这个区间上, ①若,则在这个区间上为增函数; ②若,则在这个区间上为减函数; ③若恒有,则在这一区间上为常函数. 反之,若在某区间上单调递增,则在该区间上有恒成立(但不恒等于0);若在某区间上单调递减,则在该区间上有恒成立(但不恒等于0). 注意: 1.因为导数的几
3、何意义是曲线切线的斜率,故当在某区间上,即切线斜率为正时,函数 在这个区间上为增函数;当在某区间上,即切线斜率为负时,函数在这个区 间上为减函数;即导函数的正负决定了原函数的增减。 2.若在某区间上有有限个点使,在其余点恒有,则仍为增函数(减函数的 情形完全类似)。即在某区间上,在这个区间上为增函数; 在这个区间上为减函数,但反之不成立。在某区间上为增函数在该区间; 在某区间上为减函数在该区间。在区间(a,b)内,(或)是在 区间(a,b)内单调递增(或减)的充分不必要条件! 例如:而f(x)在R上递增. 3.只有在某区间内恒有,这个函
4、数在这个区间上才为常数函数. 4.注意导函数图象与原函数图象间关系.(二)利用导数求函数单调性的基本步骤: 1.确定函数的定义域; 2.求导数; 3.在定义域内解不等式,解出相应的x的范围;当时,在相应区 间上为增函数;当时在相应区间上为减函数. 或者令,求出它在定义域内的一切实数根。把这些实数根和函数的间断点(即的无 定义点)的横坐标按从小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小 区间,判断在各个小区间内的符号。 4.写出的单调区间. 注意: 1.求函数单调区间时,要注意单调区间一定是函数定义域的子集。 2.求单调
5、区间常常通过列表的方法进行求解,使解题思路步骤更加清晰、明确。知识点二:函数的极值(一)函数的极值的定义 一般地,设函数在点及其附近有定义, (1)若对于附近的所有点,都有,则是函数的一个极大值, 记作; (2)若对附近的所有点,都有,则是函数的一个极小值, 记作. 极大值与极小值统称极值. 在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值. 注意:由函数的极值定义可知: (1)在函数的极值定义中,一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义,否则无从比较. (2)函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的,是
6、一个局部概念;在函数的整个定义域内可 能有多个极值,也可能无极值.由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大 或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小. (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整 个定义区间上的最小值. (4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值 的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点.(二)求函数极值的的基本步骤: ①确定函数的定义域; ②求导数; ③求方程的根; ④检查在方程根左右的
7、值的符号,如果左正右负,则f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右 正,则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 注意: ①可导函数的极值点一定是导函数为0的点,但导数为0的点不一定是极值点.即是可导函数 在点取得极值的必要非充分条件.例如函数y=x3,在x=0处,,但x=0不是函数的极 值点. ②可导函数在点取得极值的充要条件是且在两侧,的符号相异。知识点三:函数的最值(一)函数的最大值与最小值定理 若函数在闭区间上连续,则在上必有最大值和最小值;在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如. 注意: ①函数的最
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