导数在的研究函数中应用

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1、导数在研究函数中的应用　　　　　　　　　　　编稿；周尚达　　　审稿：张扬　　　责编：严春梅目标认知学习目标：　　1．会从几何直观了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间　　　（多项式函数一般不超过三次）.　　2．了解函数在某点取得极值的必要条件(导数在极值点两端异号)和充分条件（）；会用　　　导数求函数的极大值、极小值（多项式函数一般不超过三次）.　　3．会求闭区间上函数的最大值、最小值（多项式函数一般不超过三次）.重点：　　利用导数判断函数的单调性；会求一些函数的极值与最值。难点：　　函数极值与最值的区别与联系.利用导数在解决函数问题时有关

2、字母讨论的问题.学习策略：　　①理解导函数的符号与函数单调性之间的必然关系。　　②数形结合，体会函数极值与最值的含义。　　③紧紧抓住导函数为0的点，讨论函数的单调区间、极值和最值。知识要点梳理知识点一：函数的单调性(一)导数的符号与函数的单调性：　　一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，　　①若，则在这个区间上为增函数；　　②若，则在这个区间上为减函数；　　③若恒有，则在这一区间上为常函数.　　反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）．　　注意：　　1．因为导数的几何意义是曲线切线

3、的斜率，故当在某区间上..，即切线斜率为正时，函数　　　在这个区间上为增函数；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区　　　间上为减函数；即导函数的正负决定了原函数的增减。　　2．若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍为增函数（减函数的　　　情形完全类似）。即在某区间上，在这个区间上为增函数；　　　在这个区间上为减函数，但反之不成立。在某区间上为增函数在该区间；　　　在某区间上为减函数在该区间。在区间(a,b)内，（或）是在　　　区间(a，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件！　　　例如：而f(x)在R上递增.　　3．只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常

4、数函数.　　4．注意导函数图象与原函数图象间关系.（二）利用导数求函数单调性的基本步骤：　　1.确定函数的定义域；　　2.求导数；　　3.在定义域内解不等式，解出相应的x的范围；当时，在相应区　　　间上为增函数；当时在相应区间上为减函数.　　　或者令，求出它在定义域内的一切实数根。把这些实数根和函数的间断点（即的无　　　定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数..的定义区间分成若干个小　　　区间，判断在各个小区间内的符号。　　4.写出的单调区间.　　注意：　　1．求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集。　　2．求单调区间常常通过列表的方法进

5、行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确。知识点二：函数的极值（一）函数的极值的定义　　一般地，设函数在点及其附近有定义，　　（1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，　　　　记作；　　（2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，　　　　记作.　　极大值与极小值统称极值.　　在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.　　注意：由函数的极值定义可知：　　（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较.　　（2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域

6、内可　　　　能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大　　　　或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.　　（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整　　　　个定义区间上的最小值.　　（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值　　　　的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.（二）求函数极值的的基本步骤：　　①确定函数的定义域；　　②求导数；　　③求方程..的根；　　④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在

7、这个根处取得极大值；如果左负右　　　正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)　　注意：　　①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点.即是可导函数　　　在点取得极值的必要非充分条件.例如函数y=x3，在x=0处，，但x=0不是函数的极　　　值点.　　②可导函数在点取得极值的充要条件是且在两侧，的符号相异。知识点三：函数的最值（一）函数的最大值与最小值定理　　若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如.　　注意：