导数在研究函数中的应用.doc

《导数在研究函数中的应用.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、导数在研究函数中的应用　　应用一——研究函数的单调性　　1．判断函数的单调性　　对于函数，如果在某区间上，那么为该区间上的增函数；如果在某区间上，那么为该区间上的减函数．　　2．确定函数单调区间的一般步骤　　（1）确定函数的定义域；　　（2）求导函数；　　（3）在定义域范围内解不等式，求得的相应区间是函数的单调增区间；解不等式，求得的相应区间是函数的单调减区间．　　注意事项：在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，在解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来确定函数的单调区间．当增（减）区间

2、由若干个不连续区间组成时，应分别作答，不能用“”连接．　　应用二——求函数的极值　　1．求函数的极值的步骤　　（1）求函数的定义域；　　（2）求函数的导数，令，求方程的所有实数根；　　（3）考察在各实数根左、右的值的符号：　　①如果在两侧符号相同，则不是的极值点；②如果在附近的左侧，右侧，则是极大值；③如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值．　　　　2．函数在极值点的导数值为０，但导数值为０的点不一定是极值点．一般地，函数在一点的导数值为０是函数在这点取极值的必要不充分条件，其充分条件是函数在这一点的导数值为0且这点两侧的导函数

3、值异号．　　应用三——求函数的最值　　1．对最值概念的理解　　函数的最大（小）值是一个整体性概念，是对整个定义域而言的．最大值必须是定义域上所有函数值中的最大值，最小值必须是定义域上所有函数值中的最小值．　　2．函数的最值与极值的区别与联系　　（1）函数的极值表示函数在某一点附近的情况，而函数的最值则表示函数在定义域上的整体情况．函数在定义域上的极值可能不止一个，也可能没有，且函数的极大值与极小值之间没有必然的联系，函数的极小值不一定比它的极大值小；但函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个，且最大值必须是整个定义域上所有

4、函数值中最大的，最小值必须是整个定义域上所有函数值中最小的．　　（2）函数的极值是在局部对函数值的比较，它只能是函数定义域中的内点，而不能是端点；而最值是在整个定义域上对函数值的比较，它可以在端点处取得．　　（3）函数有极值未必有最值，有最值也未必有极值．　　3．求函数在闭区间上的最大值与最小值的步骤　　（１）求出函数在上的极值；　　（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．特别地，若函数在上单调递增，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数在上单调递减，则为函数的最大值，为函数的

5、最小值．导数应用中的两个“误区”误区之一：把“导数值为0的点”等同于“极值点”　误区之二：判断单调性时忽略特殊情形误区之一：把“导数值为0的点”等同于“极值点”　　满足的点是其为极大（小）值点的必要不充分条件，如果把导数值为０的点等同于极值点，往往容易导致失误．　　例1　函数的极值点是（　　）．　　（A）（B）　　（C）或或0（D）　　误解：，则由得极值点为，和，故正确答案为（C）．　　剖析：事实上，这三点都是导数值为０的点，但是不是极值点呢？由知，当时，；当时，；当时，；当时，．在（-∞，-1）、（-1，0）上单调递减，在（

6、0，1）、（1，+∞）上单调递增．因此只有为极小值点，和都不是极值点．故应选（D）．　　例2　已知函数在点处取极值，且函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围．　　误解：，　　由，得，　　∴．　　当时，，在递减，　　∴，∴，　　故所求a的范围为．　　剖析：以上解法忽略了一个细节：解题过程只用到，即是的导数值为０的点．当时，，如果，那么就只是导数值为０的点而非极值点．　　因此a的取值范围应为且．　　误区之二：判断单调性时忽略特殊情形　　当在某区间D上恒大于0时，函数在D上为增函数．若反过来，结论如何呢？　　例3　已知函数在实数集

7、上是增函数，求实数m的取值范围．　　误解：，　　依题意，在上恒大于0，　　所以，得．　　剖析：当时，是增函数，但反之并不尽然．如是增函数，并不恒大于0（时，）．因此本题应该有在上恒大于０或个别值等于0，所以，得．