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1、构造函数解决高考导数问题导数大题是全国各地的高考试卷中必考的一道压轴题，主要考查利用导数讨论原函数的单调性和单调区间，通过讨论将其转化为最值问题，着重考查分类讨论思想，对分类讨论的原因和讨论流程的要求较高.解题的关键在于讨论之后如何将问题精准地转化为最值问题，以得到我们所需的式子或结果.导数问题的难点在于分类讨论和最值的转化，通常在进行分类讨论或者转化为函数的最值问题之前，函数形式或者可转化为函数形式的式子比较复杂，因此我们需要进行相应的构造函数工作，把函数形式变得更加简单，其中最重要的就是函数形式的转换，本文把利用构造函数解决导数问题这类题型进
2、行了总结，如下。一、直接作差构造函数问题涉及两个函数，但只有一个变量，通常直接构造荫数h(x)=/(x)一g(x)求最值.方法总结.在导数问题屮，这类题型是最一般的情况.如果要证明涉及一个变量、两个函数的不等式成立，或者不等式可转化为利用一个函数来证明，可通过移项构造一个新的函数来解决，关键是对于如练习中所描述的某函数图象恒在另一个函数图象的上方或者下方，或者函数图象与某直线无交点(即函数图象恒在某育•线的上方或下方)等进行正确的条件转化。例1•已知函数/(x)=lnx,g(x)=--(a>0)•若x3Vxe(03e],都有/(x)>g(x)+-
3、,求实数a的取值范围.【思考过程】在这个问题中，我们需要证明不等式成立,实质就是证明不等式移项Z后的式子成立.由题意，3Vxe(09e],都有/(x)>g(x)+-,这里不等号两边为同一个变量，可直接作差构造函数来解决.【解】记F(x)=/(x)-g(x)-¥=ln兀+?-為2x2只要尸(兀)在(0,e]上的最小值大于等于0即可.XXx-a=八则F!(x),F(x)随x的变化情况如下表:X(OQa(Q,+00)F(x)—0+F(x)极小值7当a>e时，函数尸(兀)在(0,e)上单调递减，F(e)为最小值，n3e所以F(e)=l+--^>0,得a
4、g,所以Qe.e22当a*时，函数F(x)在(0Q上单调递减，在(Q,e)上单调递增,F(a)为最小值，所以F(a)=lna+--->0,得°沁.a2所以Ve4e.二、分离函数构造函数当要证明的不等式两边含有有理函数和超越函数的乘积或商的形式时，我们需要把这两种形式的函数分离Z后再來研究，这样在解决具体问题时，对于超越函数的性质研究和求取最值就会变得简单.方法总结：我们在研究这样的不等式吋，往往需要对函数的形式进行处理，先把不等式两边含有有理函数和超越函数的乘积或者商的这两种形式分离，然后再研究函数的性质.对于高
5、中而言，常见的超越函数和有理函数之间的叠加主耍有以下几种:(1)y=xex,(2)尹=兀lnx,/、『/、Inx(3)y=一,(4)y=——xx(5”吕⑹尸咅,eIn兀Inxy2(7)y=罟，(8)y=l・xlnx当遇到这类函数时，应优先使用分离策略，即先把不等式两边含有有理函数和超越函数的乘积或者商的形式分离，简化函数的形式，再进行研究.1X-1例2.设函数/(x)=aexInx+——,曲线尹=/(兀)在x点(1,/(1))处的切线方程为y=e(x-l)+2.(1)求a,方；(2)证明：/(x)>1.(1)【解】a=^b—2.【思考过程】对于
6、(2)这个问题，如果我们按照常规的思路直接对断数进行求导，然后求断数的最值，会发现儿乎不可能在考试时有限的时间内完成，所以就需要及时调整思路，改变思考方向.我们对式子进行处理,将超越前数『和lnx分开，将『和有理函数兀分开,2这样/(x)>1就等价于x]nx>xex・e(2)【证明】设g(x)=xlnx,则gf(x)=l+lnx,当xg(0,-)时，g'(x)<0,e当xe(-,+oo)时，gf(x)>0,e故g(x)在(0丄)单调递减，在(匕+oo)单调递增，从而g(x)在(0,+oo)的最小值为g(i)2设h{x)=xex--9则hx)=e
7、^x(l-x)9e当xg(0,1)时，Af(x)>0,当兀w(1,+oo)时,hx)<0,从而h(x)在(0,+oo)最大值为方(1)=一丄・e因此g(x)与久对极值点不相同，且g(x)函数图象恒在方(兀)函数图象的上方.综上，当兀>0时，g(x)>A(x),即/(x)>1.三、从导函数特征入手构造原函数对于条件中出现的h'(x)+/(x),很明显能得到它是V'(x)的导数，于是通过构造函数F(x)=M(x),对其求导即可完成解题.若题目中的条件改为xfXx)>/(X),则移项后/(X),这时应通过构造商的导数进行转化•这些形式不仅局限于这些，
8、还是有一些其他形式的导函数也可以做一些这样的转化，总结如下：(一)关系式为“加”型(1)/r(x)4-/(x)>0,构造[e")]‘=^
