问题2.5利用导数处理不等式相关问题（原卷版）

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1、2017届高三数学跨越一本线精品问题五利用导数处理不等式相关问题在高屮新课标屮，导数在数学各类问题以及各个学科和许多领域屮有着非常广泛的应用.导数己成为研究函数性质的一种重要工具，例如求两数的单调区间、求最大（小）值、求两数的值域等等.在新课程背景下，不等式内容已大幅度降低要求,压轴题中出现不等式内容，一•般情况都需要转化为函数，利用函数的性质，通过求导，利用单调性求出极值、最值,因此，很多时侯可以利用导数作为工具研究函数性质，从而解决不等式问题•下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的作用.一、利用导数证

2、明不等式利用导数研究函数单调性來证明不等式我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时,该函数在该区间上单调递增（或递减）.因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数,用导数证明该函数的单调性，然后再用函数单调性达到证明不等式的目的，即把证明不等式转化为证明函数的单调性.常见的有如下几种形式：直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立.有时先把不等式变形后再构造函数，然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明

3、不等式的目的.【例1】【2017江西省抚州市七校高三上学期联考】已知函数/g=（x+d）『，其中aeR.（1）若曲线y=/（x）在点4（0,67）处的切线/与直线y=2a-2x平行,求/的方程；（2）若Vaw[l,2],函数/（x）在0-^,2）上为增函数,求证：e2-3-a-对

4、“@一孑,2）恒成立，即b>ei!-a-l^ae[l,2]恒成立，设g（a）=e（,-a-1,利用导数判断g@）的单调性，得g（a）max=g（2）=e2-3结果得证.【解析】（1）•・•广（0）=。+1=

5、2。一2

6、,・・・。=3或丄.当a=3时,/(x)=(x+3)e/(O)=3,所以/的方程为y=4x+3.当0=—时，f(x)—(x—)0丫，f(0)——,所以/的方程为歹=—x—.(2)由题意可得广(兀)=(%+«+10>0对xe(b-e2)恒成立,TH>0,兀+a+1n0，即兀n—a—1对%£(/?

7、—ca,2)t旦成立，•*•—ci—is/?—/,即/?n幺"—a—1对aw［1,2］恒成立，设g⑷=幺“一a-l,aw［l,2］,则ga)=ea->0,・・・g(a)在［1,2］上递增,・・・g叽=g(2)=孑一3,・・・g/_3.又b-ea<2,:.e2-3

8、在点A处的切线斜率为-1.⑴求Q的值及函数/(兀)的极值；(2)证明：当兀>0时,x2

9、1)求函数/(兀)的单调区间；/、(2)证明：当时,关于x的不等式/(x)<--1〒+血_1恒成立;<2)(3)若正实数兀1，兀2满足/(西)+/(兀2)+2(彳+x

10、)+x{x2=0,证明兀］+兀2n~-【分析】（1）求导两数,从而可确定函数的单调性；（2）构造两数纟_1兀2+姒_1,利用导数研究其最值，将恒成立问题进行转化；（3）将

11、_（2丿_代数式/馆）+/（兀2）+西*2放缩，构造关于州+花的一元二次不等式，解不等式即可.1—2y2J-y4-1【解析】(1)f(x)=--2x^-l=——-—(x>0),

12、由.厂(兀)v0,得2兀2一兀—1>0,又兀>0,所以x>l,所以/（兀）的单调减区间为（1,2）,函数/（兀）的增区间是（0,1）,所以g‘(兀)=——67X4-(1-61)=X~cix^+(la)兀+]因为a>2}a所以g‘（兀）=_一(nX——Id丿兀+1)，令g'(x)=(),得兀=—,a所以当兀0丄，g©）>0；当