【跨越一本线】2017届高三数学问题：2.5-利用导数处理不等式相关问题（含答案）

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1、2017届高三数学跨越一本线精品问题五利用导数处理不等式相关问题在高中新课标中,导数在数学各类问题以及各个学科和许多领域中有着非常广泛的应用.导数已成为研究函数性质的一种重要工具,例如求函数的单调区间，求最大（小）值，求函数的值域等等.在新课程背景下,不等式内容已大幅度降低要求,压轴题中出现不等式内容,一般情况都需要转化为函数,利用函数的性质,通过求导,利用单调性求出极值，最值,因此,很多时侯可以利用导数作为工具研究函数性质,从而解决不等式问题.下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的作用.一，利用导数证明不等式利用导数研究函数单调性来证明不等式我们知道函数在某个区间上的导数值大于(或小

2、于)0时,该函数在该区间上单调递增(或递减).因而在证明不等式时,根据不等式的特点,有时可以构造函数,用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的,即把证明不等式转化为证明函数的单调性.常见的有如下几种形式：直接构造函数,然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）区间,自变量越大,函数值越大（小）,来证明不等式成立.有时先把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性,达到证明不等式的目的.【例1】【2017江西省抚州市七校高三上学期联考】已知函数,其中．（1）若曲线在点处的切线与直线平行,求的方程；（2）若,函数在上为增函数,求证：．【分

3、析】（1）求导数,利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程的斜率与相等,可求出,进而可求的方程；（2）由函数为增函数得对恒成立,即对恒成立,即对恒成立,设,利用导数判断的单调性,得结果得证.【解析】（1）∵,∴或．当时,,,所以的方程为．当时,,,所以的方程为．（2）由题意可得对恒成立,∵,∴,即对恒成立,∴,即对恒成立,设,,则,∴在上递增,∴,∴．又,∴．【点评】证明不等式f(x)

4、及函数的极值；(2)证明：当时,．【答案】(1)；当时,取得极小值,且极小值为,无极大值；(2)祥见解析．(2)证明：令则.由(1)得,,故在上单调递增,又,所以当时,,即二，利用导数解决不等式恒成立问题，存在性问题不等式恒成立问题或存在性问题是高考中非常多的一种题型,此类问题一般都会涉及到求参数范围,往往把变量分离后可以转化为m>f(x)(或m

5、的单调区间；（2）证明：当时,关于的不等式恒成立；（3）若正实数满足,证明．【分析】（1）求导函数,从而可确定函数的单调性；（2）构造函数,利用导数研究其最值,将恒成立问题进行转化；（3）将代数式放缩,构造关于的一元二次不等式,解不等式即可．【解析】（1）,由,得,又,所以,所以的单调减区间为,函数的增区间是,（2）令,所以因为,所以,令,得,所以当；当时,,因此函数在是增函数,在是减函数,故函数的最大值为令,因为,又因为在是减函数,所以当时,,即对于任意正数总有,所以关于的不等式恒成立；【点评】利用导数来处理存在性问题和恒成立问题,常用的是变量分离的方法,此类方法的解题步骤是：①分离变量；

6、②构造函数（非变量一方）；③对所构造的函数求最值（一般需要求导数,有时还需求两次导数）；④写出变量的取值范围．【小试牛刀】已知函数（e为自然对数的底数）.（1）求函数的单调区间；（2）设函数,存在实数,使得成立,求实数的取值范围.【答案】（1）在上单调递增,在上单调递减；（2）.②当时,,在上单调递增,∴,即.③当时,在,,在上单调递减,在,,在上单调递增,所以,即――――――由（1）知,在上单调递减,故,而,所以不等式无解.综上所述,存在,使得命题成立.三，利用导数解不等式对于一些复杂的不等式求解问题,有的并没有现成的公式和规律可用,有时我们可根据题中条件联想构造出到相应的函数,根据函数的

7、性质转化为处理函数的单调性或最值问题,我们都可以选择用导数作工具来研究函数问题.这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现.【例3】【2017湖北省襄阳市四校高三上学期期中联考】奇函数定义域为,其导函数是.当时,有,则关于的不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【点评】解决此类问题的关键是根据导数的运算法则,构造合适的函数,再利用已知条件确定函数单调性解不等式.【小试牛刀】【2016届江西省南