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《【备战高考_数学】高三数学复习提升专题：利用导数处理不等式相关问题（解析版）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、突破170分之江苏高三数学复习提升秘籍问题五利用导数处理不等式相关问题在高中新课标准中，导数在数学各类问题以及各个学科和许多领域中有着非常广泛的应用.导数已成为研究函数性质的一种重要工具，例如求函数的单调区间、求最大(小)值、求函数的值域等等。在新课程背景下，不等式内容已大幅度降低要求，压轴题中出现不等式内容，一般情况都需要转化为函数，利用函数的性质，通过求导，利用单调性求岀极值、最值，因此，很多时侯可以利用导数作为工具得出窗数性质，从而解决不等式问题。下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的作用。一、利用
2、导数证明不等式利用导数得出函数单调性来证明不等式我们知道函数在某个区间上的导数值大于(或小于)0时，该函数在该区I'可上单调递增(或递减).因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数,用导数证明该函数的单调性，然后再用函数单调性达到证明不等式的目的,即把证明不等式转化为证明函数的单调性.常见的有如下儿种形式：直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增(减)区间，自变量越大，函数值越大(小)，来证明不等式成立。有时先把不等式变形后再构造两数，然后利用导数证明该函数的单调性
3、，达到证明不等式的目的。y[x【例1】已知/(x)=x,g(x)=y/x-(I)当x>W,求f(x)-g(x)的最大值;m求证：屁总<¥*1恒成立【分析】(I)设F(x)=/(x)-g(x)=Inx---t),(x>1),求导利用单调性即可得其最大值;(II)由(I)得,lnx1)兀+]Gx)=In兀+2=lnx+——xxlnx-x+1-GV)的符号还不能直接确定
4、•为了"川定G'(x)符勺，再，乂H(x)=xlnx-x+l,(x>1)，求&彳「H'(x)=lnx>0J所以H(x)>H(l)=0即Gx)>0由此可知G(x)>G(l)=0即(x+l)lnx>2(兀一1)'从而原命题得证。【解析】(I)设F(x)=/(x)-g(x)=Inx-(Vx——),(%>!),则2x^1x所以F(k)在区间fl,+oo)内单调递减，故F(x)的最大值为F(l)=0:由(I)得，对办>1,都有f(x)vg(x),即InXVx-1因为x-l>0:lnx>0,所臥頁<―.Inxxlnx—x
5、+1G(x)=(x+1)Inx-2(x-1):(x>1),贝U^(^=^1%+—-2=lnx+--l=XX设H(x)=xlnx—x+l(x>1)〉贝'JHf(x)=lnx>0所以.Hg在区间(L+x)内单调递増,故H(x)>日⑴=0即G(x)>0.x+1所以.G(x)在区间a+Q内单调递増，故G(x)>G(l)=0即(x+l)lnx>2(x—1),因为x-l>0:lnx>0,所以^—Inx从而原命题得证.【点评】本题主要考查了导数及其应用和不等式的证明，进一步体现了导数应用广泛的特点,题面上看似是个不等式证明问
6、题，但转化Z后即可成为一个函数的最值问题，rh木例还可说明用函数单调性证明不等式时，如何选择口变量来构造函数是比较重要的。【小试牛刀】已知函数f(x)=ex-ax(a为常数)的图像与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.⑴求a的值及函数于(兀)的极值；(2)证明：当兀〉0时，x2<.【答案】(1)a=2；当x=ln2时，/(兀)取得极小值，且极小值为/(In2)二02一21n2二2—ln4,/(x)无极大值；(2)祥见解析.【解析】试题分析：(1)利用导数的儿何意义求得a,再利用导数法求得函数
7、的极值；(2)构造函数g(x)=ex-x2,利用导数求得函数的最小值，即可得出结论.试题解析:(1)由于(兀)=ax,得f(x)=ex-a.又广(0)=1-°=一1,得a=2.所以f(x)=ex-2x,f(x)=ex-2.令/r(x)=0,得x=ln2・当xvln2时，f(x)<0,/(x)单调递减；当x>ln2时，/r(x)>0,f(x)单调递増•所以当x=ln2时，/(X)取得极小值，且极小值为/(ln2)=尸一2In2=2-In4,f(x)无极大值.⑵证明：令g(x)=ex-xz则g'(x)-2x・由⑴得
8、，/(x)=/(x)>/(ln2)=2-ln4>0,故g(刃在R上单调递増，又g(0)=l>0,所以当e0时，g(x)>g(0)>0,即Fve"二、利用导数解决不等式恒成立问题、存在性问题不等式恒成立问题或存在性问题是高考中非常多的一种题型，此类问题一般都会涉及到求参数范圉，往往把变量分离后对以转化为m>f(x)(或mvf(x))恒成立，于是m大于f(x)的最大值(或m小于f(x)的最
