【备战高考_数学】高三数学复习提升专题：三角形中的不等问题（解析版）

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1、突破170分之江苏高三数学复习提升秘籍问题三：三角形中的不等问题在中，如果A,B,U对应边分别用a.b.u表示，则常见的等式有:A+B+C=rr,-^―=-^―=—^―=2R（正弦定理），：二耳+仔・2abcosa余弦定理）等，而其sinAsinBsinC中隐藏的不等关系也很多，如0vZv7T,0V力+7T,归・Qvuv日+Z?,如果是锐角三7TTT角形，则还有0＜力＜兰，兰vZ+Bvzr,护+仔＞庄等等，解题中充分利用这些关系，结22合不等式相关性质，可以求出相关变量或解析式的准确范围.—、角的范围或最值例1、WBU的三个内角为A.B,C,若sinA+>/3cosAcosA-V3si

2、nA5tt=tan—6则sinBsinC的最大【分析】根据已知条件,可以得到/的值，从而得到3与U的关系，将sinBsinC换为一元函数后，利用三角函数的有界性求范围（最值）。【解析】因为tan—=tanCT--)=-^sinJ+a/Scos^-Icos^~x^sinA663所以故cqE={)>又因为0

3、角的余弦，但考虑三角形中，余弦可以转换为边的表达式，已知条件也可以利用正弦定理化为边的关系，而且边的关系式利用不等式相关性质更方便，所以，本题化为边的关系式求解是上策。【解析】设MBU的内角AfB,U所对的边分别是a,be则由正弦定理得a+p2b=2c.故cosC=—玮一a+y[2b232ab1戸+尹一2ab2ab当且仅当3^=2^,即彳二扌=时;【点评】本题求角的余弦值取值范围,在三角形中，转化为边的关系后，利用基本不等式不失为一种很好的策略.二、边的范围或最值例2、已知AABC的内角A,B,U满足sin2A+sin{A・3+Q二sin{C-A-B)+—,2面积S满足1

4、b分别为/,BC所对的边贝!J下列不等式一定成立的是.A.bc(b+6)>8B.ac(a+Z?)>16/2C.6

5、£+劝+牙>乙所以2s：r(£+劝oqs(£—劲=2s：zr(£+劲gqs(£+劝乙所以2sin(A+劲［"s(£—劝—oos(S+劫］==所以^inAsinB^inC=^.28由1W朮2,得l^zbcsinA^2.乙由正弦定理得尸2RsinA>b=2RsinB?F2RsinCf所以1W2斤・sinAsinBsin虑2,所以1W^W2,即20肛2逅所以bo(b+c)>abc=-87TsinAsin3sinC=■盘ME.【点评】本题得出中间结论；/1<—<2^,是后面得出边的不等关系的桥梁。/?变式训练^ABC中，角4B、U所对的边分别为a、b、G且比边上的高为止a,6rb则y+-的最大

6、值是•hc【答案】4【解析】由已知得，在△曲C中，-a-^a=^bcsinAf262即/=2^3besinA>又由余弦定理得/-b1+c:-26ccos>n▲门?"心cbb'+c，2%/3besin2bccosA艮卩a・+2^ccosH=Zr+c・，所以一+_==bebebe=2击sin,4+2cosJ=4sin(A+-)<4・6【点评】从一、二两个部分的解析过程中可以看岀，角的问题和边的问题往往是相互交叉的,在解析中应该充分注意两类元素的合理转换，利用各自的特点，才能更好的解决问题三、周长的范围或最值例3、已知日0C分别为三个内角4,Bc的对边lacosC+y/3asinC-h-c=

7、0.⑴求力的大小；⑵若a=7,求的周长的取值范围•【分析】⑴条件中的等式dcosC+V^sinC-b-c=0给岀了边角满足的关系式，利用正弦定理，统一为角之间的关系，消去(替换掉)3和G即可求出力的值；(2)根据题意可知，欲求周长的取值范围，即求b+c的取值范围，首先显然有b+oa^J,再由余弦定理结合基本不等式可知49=夕+c2—2bccos-=04-cF—3bc>04-c)2--0+c)2=-(/?+c)2,从而得解.244【解析】(1)由