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《【备战高考_数学】高三数学复习提升专题：非标准二项式定理求解特殊项问题（解析版）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、突破170分之江苏高三数学复习提升秘籍问题二，非标准二项式定理求解特殊项问题二项式定理是高考高频考点，基本上每年必考，难度中等或中等以下,二项式定理作为一个工具，也常与其他知识交汇命题，如与数列交汇、与不等式交汇等.因此在一些题目中不仅仅考查二项式定理，还要考查其他知识，其解题的关键点是它们的交汇点，注意它们的联系.一、二项式定理与函数的交汇(1(X-—)6/XV0f【例1］设函数=s%'则当x>0时川/«］表达式的展开式中常数项为「乐,x>0,1其展幵式的通项公式为1=【答案】・20【解析】x>0时,f3=_"c<0,故]=f(-&=(-靈.(一岳一・r=(―1)6_，•Ce・(£)—
2、：由6—2r=0,得『=缶故常数项为(_1)'•Cl=—20.【点评】解决本题的关键是当Q0时，将/［ZW］表达式转化为二项式・【牛刀小试】若将函数心)二塔表示为彳力二ao+ai(l+力++力2+...+a5(l+其中无6,刃,...05为实数则冇二【答案】10^5=1,【解析】由等式两边对应项系数相等，即彳C妞+刊二0,、C站5++^3=0二.二项式定理与数列的交汇【例2】将心N+)的展开式中h的系数记为色，则—+—+•••+偽6【解析】/1—201511n（neN+）的展开式的通项为Tr+l=C；<1]If丿=(-l)rC>-2r，由题意可知心2,此时4虫=冒，所以厂册（占弓，所以
3、—+—+•••+—!—=2[(14-(—)]=2(1)二^§a2a3皎152232014201520152015（l【牛刀小试】设二项式X--/XeN*）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为an、bn.厶丿
4、+_yT的展幵式的通项是m:•x~Ix依题鼠有：卄严1，由此得：.屏08）解之得汎，即X的取值范围为（1,+8）.【牛刀小试】求证:3〃＞(/7+2)0・i(/7WN：/7＞2)•【证明】因为门GN：且门＞2,所以3^=(2+展开后至少有4项.(2+l)n=2n+C^77-1+...4-C；?-k2+l＞2n+rr2n'1+2n+X＞2n+n-2n-1=(n+2)-2n-1,故歹＞(门+2)・2〃-1(门丘11：门＞2).、二项式定理与导数的交汇【例5】若(2x・3)5二內+gx+刃0+內方+创”+话塔,则6+26+3刃+4曰4+5禺等于【答案】10【解析】在已知等式两边对x求导,得5
5、(2x-3)4x2=g+2彳*+3禺0+4日40+5心比令x二1,得ai+2<^+3^3+4^4+5^5=5x(2xl-3)4x2=10.【牛刀小试】求证C：+2C；+3C：++g；»・2心【证明】由二项式定理可得(1+兀)"二C》+C；/+C裙+c*++C>两边取导数可得斤(1+尤)心二C：+2C認+3C：”++nCnnxn'令兀=1得C；+2C；+3©++心=n・2“t・五、二项式定理与信息迁移题的交汇【例6】已知力是一个给定的正整数,如果两个整数日力除以力所得的余数相同，则称曰与b对模m同余记作克如odrri)例如：5三13(/7?加4).若则厂可能等于()A.2013B.20
6、14C.2015D.2016【答案】A【解析】22015二2"23"71二4x8671二4(7+1)671二4(7671+0717670+…+^7+1).因此22015除以7的余数为4经验证只有2013除以7所得的余数为4.故选A.［牛刀小试］用a代表红球/代表蓝球I代表黑球.由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(l+切的展开式1+a+b+ab表示出来如：T表示一个球都不取、％’表示取出一个红球、而"力〃则表示把红球和蓝球都取出来依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有
7、的蓝球都取出或都不取岀的所有取法的是.【答案】(l+m+a2+a3+a4+却)(1+^(l+6)5【解析】分三步:第一步,5个无区别的红球可能取出0个门个5个，则有(1+&+/+/+£+勿种不同的取法；第二步,5个无区别的蓝球都取出或都不取出，则有(1+F)种不同的取法；第三步,5个有区别的黑球中任取0个,1个宀5个，有(1+血+曲+酬+曲+苕)=(1+扩种不同的取法，所以所求为(1+&+才+金+s'+h)(14-b~)(14-c)
