高三高考复习数学专题学案：《排列 组合 二项式》《二项式定理》

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1、第5课时二项式定理基础过关1．(a＋b)n＝(n∈N)，这个公式称做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数叫做二项式系数．式中的叫做二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即通项公式Tr＋1＝是表示展开式的第r＋1项．2．二项式定理中，二项式系数的性质有：①在二项式展开式中，与首末两项“等距离”的两项二项式系数相等，即：②如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大，即当n是偶数时，n+1是奇数，展开式共有n+1项，中间一项

2、，即：第项的二项式系数最大，为；当n是奇数时，n+1是偶数，展开式共有n+1项，中间两项，即第项及每项，它们的二项式系数最大，为③二项式系数的和等于—————————，即————————————④二项展开式中，偶数项系数和等于奇数项的系数和＝即⑤展开式中相邻两项的二项式系数的比是：3．二项式定理主要有以下应用①近似计算②解决有关整除或求余数问题③用二项式定理证明一些特殊的不等式和推导组合公式（其做法称为“赋值法”）注意二项式定理只能解决一些与自然数有关的问题④杨辉三角形典型例题例1.(1)（06湖南理11）若

3、(ax－1)5的展开式中x3的系数是－80，则实数a的值是．(2)（06湖北文8）在的展开式中，x的幂指数是整数的有项．(3)(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+……+(1+x)6展开式中x2项的系数为．解：（1）－2（2）5项（3）35变式训练1：若多项式,则()A、9B、10C、－9D、－10解：根据左边的系数为1,易知，左边的系数为0,右边的系数为,∴故选D。例2.已知f(x)＝(1+x)m+(1+x)n，其中m、n∈N展开式中x的一次项系数为11，问m、n为何值时，含x3项的系数取得最小值？最小值

4、是多少？由题意，则含x3项的系数为＋，当n＝5或6时x3系数取得最小值为30变式训练2：分已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为,其中,则展开式中常数项是()A、－45iB、45iC、－45D、45解析：第三项,第五项的系数分别为,依据题意有：,整理得即解方程(n－10)(n＋5)＝0则只有n=10适合题意.由,当时,有r=8,故常数项为=45故选D例3.若求（）+（）+……+（）解：对于式子：令x=0，便得到：=1令x=1，得到=1又原式：（）+（）+……+（）=∴原式：（）+（）+……+（）=注意：“二

5、项式系数”同二项式展开式中“项的系数”的区别与联系.变式训练3：若，则的值是（）A．B．1C．0D．2解：A例4.已知二项式，（n∈N）的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10：1，（1）求展开式中各项的系数和（2）求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项解：（1）∵第5项的系数与第3项的系数的比是10：1，∴，解得n=8令x=1得到展开式中各项的系数和为(1-2)=1(2)展开式中第r项,第r+1项,第r+2项的系数绝对值分别为,,,若第r+1项的系数绝对值最大,则必须满足：≤并且≤，解得5≤r≤

6、6；所以系数最大的项为T=1792；二项式系数最大的项为T=11变式训练4：①已知()n的第5项的二项式系数与第三项的二项系数的比是14:3，求展开式中不含x的项.②求(x－1)－(x－1)2＋(x－1)3－(x－1)4＋(x－1)5的展开式中x2项的系数.解：小结归纳1．注意(a＋b)n及(a－b)n展开式中，通项公式分别为及这里且展开式都有n+1项，在使用时要注意两个公式的区别，求二项式的展开式中的指定项，要扣住通项公式来解决问题．2．二项式的展开式中二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的

7、指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式，二项式的指数及项数均有关．3．应用二项式定理计算一个数的乘方的近似值时，应根据题设中对精确度的要求，决定展开式中各项的取舍．4．求余数或证明整除问题，被除数是幂指数问题时，解决问题的关键是将底数转化为除数的倍数加1或减1．通过练习要仔细地去体会其中的变形技巧．