导数、数列、不等式

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1、导数、数列、不等式第7页共7页导数、数列、不等式导数与数列型不等式的交汇问题，体现了导数的工具性，凸显了知识之间的纵横联系，一些题构思精巧、新颖，加强对能力的考察，逐渐成为高考的新亮点.1.已知函数（，为自然对数的底数）.（1）求函数的最小值；（2）若对任意的恒成立，求实数的值；（3）在（2）的条件下，证明：.解析：（1）略；（2），由（1）设，；（3）由（2）知，因为，所以对任意，均有，即，令，，则，所以，.于是，2.已知函数，，（1）求函数的单调区间；（2）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：.解析：（1）函数的单调增区间为，单调减区间为.

2、（2），，.令，，令，解得；当变化时，，变化情况如下表：增减导数、数列、不等式第7页共7页导数、数列、不等式第7页共7页故，则.（3）由（2）知，，（两边同时乘以）3.已知函数.（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；（2）当且时，证明：.解析：（1）实数的取值范围为.（2）由（1）知，令，则在上为增函数，，即，当且仅当时取等号.要证明，只需证.在中取，有，则；在中取，易知，则.综上可知成立，则原命题成立.4.已知函数（1）求函数的极值点；（2）若恒成立，试确定实数的取值范围.（3）证明：.解析：（1）函数的定义域为，.①当时，导数、数列、不等式第7页共7页

3、导数、数列、不等式第7页共7页在上单调递增，无极值；②当时，，，当变化时，，变化情况如下表：增减函数在处取得极大值，为极大值点.（2）由（1）知，时，，不恒成立，故只需.当时，，.（3）由（2）知，当时，，（），，，所以，，..引申：（4）证明：①当时，；②.当时，,，所以.（5），令，.5.已知函数（），的图象在点处的切线方程为.（1）用表示；（2）若在上恒成立，求的取值范围；（3）证明：.导数、数列、不等式第7页共7页导数、数列、不等式第7页共7页解析：（1），；（2）由（1）知，，令，（关键信息）..，①当时，，若，则，单调递减，所以，即，在上不恒成立；②

4、当时，，若，，单调递增，所以.即，故当时，在上恒成立.综上所述，所求的取值范围为.（3）由（2）知，当时，，且，令，有，且当时，.令，有，即，.将上述个式子相加，得.6.已知，的图像在点处的切线与直线平行.（1）求满足的关系式；（2）若在上恒成立，求的取值范围；（3）证明：.解析：（1）；（2）由（1）知，，令，，（关键信息）.导数、数列、不等式第7页共7页导数、数列、不等式第7页共7页①当时，，若，则，单调递减，所以，即，在上不恒成立；②当时，，若，，单调递增，所以.即，故当时，在上恒成立.综上所述，所求的取值范围为.（3）由（2）知，当时，，且，令，有，且当

5、时，.令，有，，所以，，即：，.将上述个式子相加，得.7.设函数.（1）当时，只有一个零点，求实数的取值范围；（2）当时，试比较与1的大小；（3）证明：.（）解析：（1）或；（2）①当时，，即；②当时，，即；③当时，，即.（3）由（2）的结论，当时，，即．令，则有，,将上述个式子相加，得.8.设函数，，，其中是的导函数.导数、数列、不等式第7页共7页导数、数列、不等式第7页共7页（1），求的表达式；（2）若恒成立，求实数的取值范围；（3）设，比较与的大小，并加以证明.解析：（1），，，，，，，，，假设当时，，则当时，也成立.综上，，（2），，，.令，，易知，则，

6、.当时，在上恒成立，在上单调递增，，满足条件；当时，令，解得，令，解得.于是在上单调递减，在上单调递增，，与题设矛盾，综上可知.（3），证明如下：要证，只需证导数、数列、不等式第7页共7页导数、数列、不等式第7页共7页.在（2）中取，可得，，令，，则，故有，，…，，上述各式相加可得.导数、数列、不等式第7页共7页