文科数学第六章第六节

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1、第六节 直接证明与间接证明第六章 不等式、推理与证明考纲要求1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法,了解分析法和综合法的思考过程、特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法,了解反证法的思考过程、特点.课前自修知识梳理一、直接证明1.综合法:从题设的已知条件出发,运用一系列有关已确定真实的命题作为推理的依据,逐步推演而得到要证明的结论,这种证明方法叫做综合法.综合法的推理方向是由已知到求证,表现为由因索果,综合法的解题步骤用符号表示是:P0(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒Pn(结论).特点:由因导果,因此综合法又叫顺推法.2.分析法:分析法的推理方向是由结论到题设,论证中步步寻求使其

2、成立的充分条件,如此逐步归结到已知的条件和已经成立的事实,从而使命题得证,表现为执果索因,分析法的证题步骤用符号表示为B(结论)⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A(已知).特点:执果索因,因此分析法又叫逆推法或执果索因法.二、间接证明假设原命题的结论不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立.这样的证明方法叫反证法.反证法是一种间接证明的方法.1.反证法的解题步骤:否定结论—推演过程中引出矛盾—肯定结论.2.反证法的理论依据是:原命题为真,则它的逆否命题为真,在直接证明有困难时,就可以转化为证明它的逆否命题成立.3.反证法证明一个命题常采用以下步骤:(1)假定命题的

3、结论不成立;(2)进行推理,在推理中出现下列情况之一:与已知条件矛盾;与公理或定理矛盾;(3)由于上述矛盾的出现,可以断言,原来的假定“结论不成立”是错误的;(4)肯定原来命题的结论是正确的.即“反设—归谬—结论”.4.一般情况下,有如下几种情况的证明题目常常采用反证法:第一,问题共有n种情况,现要证明其中的1种情况成立时,可以想到用反证法把其他的n-1种情况都排除,从而肯定这种情况成立;第二,命题是以否定命题的形式叙述的;第三,命题用“至少”、“至多”的字样叙述的;第四,当命题成立非常明显,而要直接证明所用的理论太少,且不容易说明,而其逆命题又是非常容易证明的.基础自测1.(2012·英德

4、市一中模拟)已知曲线C:y=(x>0)及两点A1(x1,0)和A2(x2,0),其中x2>x1>0.过A1,A2分别作x轴的垂线,交曲线C于B1,B2两点,直线B1B2与x轴交于点A3(x3,0),那么()A.x1,,x2成等差数列B.x1,,x2成等比数列C.x1,x3,x2成等差数列D.x1,x3,x2成等比数列2.(2012·赣州市模拟)对任意的锐角α,β,下列不等式成立的是()A.sin(α+β)>sinα+sinβB.cos(α+β)>cosα+cosβC.cos(α+β)

5、ab=,a⊗b=lga2-.若M=2,N=⊗,则M+N=__________.a+b=22考点探究考点一用综合法证明命题【例1】(2012·江苏淮阴中学、海门中学、天一中学联考)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=4,CB=2,AA1=2,∠ACB=60°,E,F分别是A1C1,BC的中点.(1)证明:平面AEB⊥平面BB1C1C;(2)证明:C1F∥平面ABE;(3)设P是BE的中点,求三棱锥P-B1C1F的体积.思路点拨:运用综合法.(1)根据面面垂直的判定定理,证明一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直;(2)根据线面平行的判定定理,证明C1F平行于平面ABE内

6、的一条直线,或证明C1F在与平面ABE平行的另一个平面内.(1)证明:在△ABC中,∵AC=2BC=4,∠ACB=60°,∴AB=2,∴AB2+BC2=AC2,∴AB⊥BC.由已知AB⊥BB1,∴AB⊥平面BB1C1C.又∵AB⊂平面ABE,∴平面ABE⊥平面BB1C1C.(2)证明:取AC的中点M,连接C1M,FM.在△ABC中,FM∥AB,而FM⊄ABE,∴直线FM∥平面ABE.在矩形ACC1A1中,E,M都是中点,∴C1M∥AE.而C1M⊄平面ABE,∴直线C1M∥平面ABE.又∵C1M∩FM=M,∴平面ABE∥平面FMC1.又C1F⊂平面FMC1,故C1F∥平面AEB.(3)解析:取

7、B1C1的中点H,连接EH,则EH∥AB且EH=AB=,由AB⊥平面BB1C1C,∴EH⊥平面BB1C1C.∵P是BE的中点,∴VPB1C1F=VEB1C1F=×S△B1C1F·EH=.变式探究1.(2011·天津卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠ADC=45°,AD=AC=1,O为AC中点,PO⊥平面ABCD,PO=2,M为PD中点.(1)证明:PB∥平面ACM;(2)证明:AD

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