文科数学第六章第四节

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1、第四节　基本不等式：≤(a，b∈R＋)第六章　不等式、推理与证明考纲要求1．了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．3．会用基本不等式求最值及解决简单的实际问题.课前自修知识梳理一、算术平均数与几何平均数的概念若a>0，b>0，则a，b的算术平均数是，几何平均数是.二、常用的重要不等式和基本不等式1．若a∈R，则a2≥0，≥0(当且仅当a＝0时，取“等号”)．2．若a，b∈R，则a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取等号)．3．若a，b∈R＋，则a＋b≥2(当且仅当a＝b时取等号

2、)．4．若a，b∈R＋，则≥2(当且仅当a＝b时取等号)．四、最值定理设x>0，y>0，由x＋y≥2，有：(1)若积xy＝P(定值)，则和x＋y最小值为2；(2)若和x＋y＝S(定值)，则积xy最大值为2.即积定和最小，和定积最大．运用最值定理求最值应满足的三个条件：“一正、二定、三相等”．五、比较法的两种形式一是作差，二是作商．基础自测3．(2012·合肥市重点中学联考)若直线2ax－by＋2＝0(a，b>0)始终平分圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的周长，则＋的最小值是________．答案：44．(201

3、2·宁波市鄞州区适应性考试)已知点A(m，n)在直线x＋2y－1＝0上，则2m＋4n的最小值为__________.考点探究考点一利用基本不等式比较数(或式)的大小变式探究1．已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a2＋b2＋c2，ab＋bc＋ca，的大小关系是__________________．解析：由于(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≤a2＋b2＋c2＋(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)＝3(a2＋b2＋c2)，所以a2＋b2＋c2≥；由于a2＋b2≥2ab，b2＋

4、c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，三个不等式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，所以(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥3(ab＋bc＋ca)，故ab＋bc＋ca≤.综上知，ab＋bc＋ca≤≤a2＋b2＋c2.答案：ab＋bc＋ca≤≤a2＋b2＋c2考点二利用基本不等式判定不等式的正误变式探究2．(2012·广东执信中学检测)“a＞b＞0”是“ab＜”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：a2＋b2≥2ab中参数的取值不只是仅可

5、以取正数．均值不等式≥才需应满足a>0，b>0.故选A.答案：A考点三利用最值定理求最值点评：在使用基本不等式求最值时，一定要注意其中的等号能不能成立，是否符合使用基本不等式的条件．如果根据限制条件等号不能成立，则应该通过其他方法解决(如函数、导数等)．使用基本不等式求最值，其基本的技巧是变换，通过变换出现两式之和为常数或者两式之积为常数，达到使用基本不等式的目的．使用基本不等式求最值时，要注意三个条件，即“一正、二定、三相等”．变式探究答案：C4．(2012·柳州市一模)若ab＞0，且A(a,0)，B(0，b

6、)，C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为________．答案：16考点四利用基本不等式证明其他不等式【例4】若x>0，y>0，x＋y＝1，求证：≥9.思路点拨：本题要求根据条件求最值，x＋y为常数，xy可有最大值，如何合理利用条件x＋y＝1是解答本题的关键，可在要求的式子上乘以(x＋y)，也可通过三角换元转化为三角问题.点评：对于最值问题求解方法较多，但用均值不等式求最值时，要注意三个条件，即“一正、二定、三相等”．变式探究5．已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.求证：≥8.考点五基本不等式的实际应

7、用【例5】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C＝，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f达到最小，并求最小值．变式探究6．(2012·汕头市教学质测)某商店经销一种洗衣粉，年销售总量为6000包，每包进价为2.8元，

8、销售价为3.4元，全年分若干次进货，每次进货均为x包．已知每次进货的运输劳务费为62.5元，全部洗衣粉全年保管费为1.5x元．(1)将该商店经销洗衣粉一年的利润y(单位：元)表示为每次进货量x(单位：包)的函数．(2)为使利润最大，每次应进货多少包？课时升华1．对于公式a＋b≥2，ab≤2，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a＋b的转化关系．感悟高考品味高考解