文科数学第六章第三节

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1、第三节　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题第六章　不等式、推理与证明考纲要求1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．课前自修知识梳理一、二元一次不等式表示的平面区域在平面直角坐标系中，设有直线Ax＋By＋C＝0(B不为0)及点P(x0，y0)，则(1)若B>0，Ax0＋By0＋C>0，则点P在直线的上方，此时不等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0上方的区域；(2)若B>0，Ax0＋By0＋C<0，则点P

2、在直线的下方，此时不等式Ax＋By＋C<0表示直线Ax＋By＋C＝0下方的区域(注：若B为负，则可先将其变为正)．由此可知，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不含边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．由于对在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它们的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得到的实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，从Ax0

3、＋By0＋C的正负情况，即可判断Ax＋By＋C>0表示直线哪一侧的平面区域．特殊地，当C≠0时，直线不过原点，通常把原点作为特殊点．二、线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域(类似函数的定义域)，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解．线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：(1)根据题意，设出变量x，y；(2)找出线性约束条件；(3)确定线性目标函数z＝f(x，y)；(4)画出可行域(即各约束条件所示区域的公共区域)；(5)利

4、用线性目标函数作平行直线系f(x，y)＝t(t为参数)；(6)观察图形，找到直线f(x，y)＝t在可行域上使t取得所求最值的位置，以确定最优解，给出答案．生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题．基础自测2．(2012·佛山一中期中)设x，y满足约束条件则的最大值是()A．5B．6C．8D．103．(2012·安徽卷)若x，y满足约束条件则x－y的取值范围为________．4．(2011·安徽示范高中联考)已知实数x，y，z满足条件若使z取得最大值的有序数对(x，y)有无数个，则a＝________.考点探究考点一画出给定不等式组所表示的区域【例1

5、】试画出不等式组所表示的平面区域．解析：分别画出不等式x－y≤1,2x＋y≤4，x≥1所表示的平面区域，它们的公共区域就是不等式组所表示的平面区域(如图所示)．变式探究解析：由于所求平面区域的点的坐标要同时满足两个不等式，因此二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，即各个不等式表示的平面区域的公共部分．不等式y<－3x＋12表示直线y＝－3x＋12下方的区域；不等式x＜2y表示直线y＝x上方的区域．取两区域重叠的部分，图中的阴影部分就表示原不等式组的解集．考点二求由不等式组所表示的封闭区域的面积【例2】(2011·柳州市调研)在平

6、面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积是()A．4B．4C．2D．2思路点拨：本题考查简单的线性规划的可行域、三角形的面积．解析：由题意，画出已知的不等式组表示的平面区域，即△ABC所在区域(如图所示)，其中三个顶点分别为A(2,4)，B(2,0)，C(0,2)．于是，△ABC的面积为S△ABC＝＝4.故选B.答案：B变式探究2．(2012·广东六校联考)已知点N(x，y)在由不等式组确定的平面区域内，则N(x，y)所在平面区域的面积是()A．1B．2C．4D．8解析：作出不等式组表示的区域(图中阴影部分)，它是一个等腰直角三角形，面积为×4×2

7、＝4.故选C.答案：C考点三求线性规划问题的最优解【例3】设x，y满足约束条件分别求：(1)z＝6x＋10y；(2)z＝2x－y；(3)z＝2x－y(x，y均为整数)的最大值，最小值．思路点拨：由于所给的约束条件及目标函数均为关于x，y的一次式，所以此问题是简单线性规划问题，使用图解法求解．解析：(1)先画出可行域，如图所示中△ABC的区域，且求得A(5,2)，B(1,1)，C.作出直线L0：6x＋10y＝0，再将直线L0平移．当L0的平行线过B点时，可使z＝6x＋10y达到最小值；当L0的平行线过A点时，可使z＝6x＋10y达到最大值．所以zmin＝1

8、6，zmax＝50.(2)同上，作出直线L0：2x－y＝0，再将直线L0平移．当