文科数学第六章第六节

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1、第六节　直接证明与间接证明第六章　不等式、推理与证明考纲要求1．了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法，了解分析法和综合法的思考过程、特点．2．了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点．课前自修知识梳理一、直接证明1．综合法：从题设的已知条件出发，运用一系列有关已确定真实的命题作为推理的依据，逐步推演而得到要证明的结论，这种证明方法叫做综合法．综合法的推理方向是由已知到求证，表现为由因索果，综合法的解题步骤用符号表示是：P0(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒Pn(结论)．特点：由因导果，因此综合法又叫顺推法．2．分析法：分析法的推理方向是由结论到题设，论证中步步寻求使其

2、成立的充分条件，如此逐步归结到已知的条件和已经成立的事实，从而使命题得证，表现为执果索因，分析法的证题步骤用符号表示为B(结论)⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A(已知)．特点：执果索因，因此分析法又叫逆推法或执果索因法．二、间接证明假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立．这样的证明方法叫反证法．反证法是一种间接证明的方法．1．反证法的解题步骤：否定结论—推演过程中引出矛盾—肯定结论．2．反证法的理论依据是：原命题为真，则它的逆否命题为真，在直接证明有困难时，就可以转化为证明它的逆否命题成立．3．反证法证明一个命题常采用以下步骤：(1)假定命题的

3、结论不成立；(2)进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾；(3)由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的；(4)肯定原来命题的结论是正确的．即“反设—归谬—结论”．4．一般情况下，有如下几种情况的证明题目常常采用反证法：第一，问题共有n种情况，现要证明其中的1种情况成立时，可以想到用反证法把其他的n－1种情况都排除，从而肯定这种情况成立；第二，命题是以否定命题的形式叙述的；第三，命题用“至少”、“至多”的字样叙述的；第四，当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆命题又是非常容易证明的．基础自测1．(2012·英德

4、市一中模拟)已知曲线C：y＝(x>0)及两点A1(x1,0)和A2(x2,0)，其中x2>x1>0.过A1，A2分别作x轴的垂线，交曲线C于B1，B2两点，直线B1B2与x轴交于点A3(x3,0)，那么()A．x1，，x2成等差数列B．x1，，x2成等比数列C．x1，x3，x2成等差数列D．x1，x3，x2成等比数列2．(2012·赣州市模拟)对任意的锐角α，β，下列不等式成立的是()A．sin(α＋β)>sinα＋sinβB．cos(α＋β)>cosα＋cosβC．cos(α＋β)

5、ab＝，a⊗b＝lga2－.若M＝2，N＝⊗，则M＋N＝__________.a＋b＝22考点探究考点一用综合法证明命题【例1】(2012·江苏淮阴中学、海门中学、天一中学联考)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝4，CB＝2，AA1＝2，∠ACB＝60°，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)证明：平面AEB⊥平面BB1C1C；(2)证明：C1F∥平面ABE；(3)设P是BE的中点，求三棱锥P-B1C1F的体积．思路点拨：运用综合法．(1)根据面面垂直的判定定理，证明一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直；(2)根据线面平行的判定定理，证明C1F平行于平面ABE内

6、的一条直线，或证明C1F在与平面ABE平行的另一个平面内．(1)证明：在△ABC中，∵AC＝2BC＝4，∠ACB＝60°，∴AB＝2，∴AB2＋BC2＝AC2，∴AB⊥BC.由已知AB⊥BB1,∴AB⊥平面BB1C1C.又∵AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面BB1C1C.(2)证明：取AC的中点M，连接C1M，FM.在△ABC中，FM∥AB，而FM⊄ABE，∴直线FM∥平面ABE.在矩形ACC1A1中，E，M都是中点，∴C1M∥AE.而C1M⊄平面ABE，∴直线C1M∥平面ABE.又∵C1M∩FM＝M，∴平面ABE∥平面FMC1.又C1F⊂平面FMC1，故C1F∥平面AEB.(3)解析：取

7、B1C1的中点H，连接EH，则EH∥AB且EH＝AB＝，由AB⊥平面BB1C1C，∴EH⊥平面BB1C1C.∵P是BE的中点，∴VPB1C1F＝VEB1C1F＝×S△B1C1F·EH＝.变式探究1．(2011·天津卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC=1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD中点．(1)证明：PB∥平面ACM；(2)证明：AD