基本不等式导学案.doc

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1、基本不等式导学案§3.4基本不等式【学习目标】：（1）学会推导并掌握基本不等式.（2）会用基本不等式解决实际问题和求最值问题.【学习重难点】：1.重点：基本不等式的推导和应用.2.难点：基本不等式的应用.一、预学案（阅读教材，完成知识体系）问题探究——探究图形中的不等关系.如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民的热情好客.你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为a

2、，b那么正方形的边长为____________.这样，4个直角三角形的面积的和是___________，正方形的面积为_________.由于4个直角三角形的面积______正方形的面积，我们就得到了一个不等式：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有_______________结论：一般的，如果，我们有当且仅当时等号成立.二、探究案（知识迁移，深度理解）1.如果，用代替，上式可变为基本不等式：一般地，对于实数，我们有当且仅当时等号成立.2.对基本不等式的进一步理解：我们把叫做正数的算术平均数，把叫做正数的几何平均数.所

3、以基本不等式又可以用语言叙述为：两个正数的不小于它们的.3.基本不等式的变形式小试身手第4页，共4页基本不等式导学案1、不等式中等号成立的条件是（）A.B.C.D.2、已知，,且，则（）A.B.C.D.三、典型例题（知识运用，深度理解）题型一：基本不等式在实际问题中的应用例1、（1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少所用篱笆最短？设菜园的长为，宽为，则，篱笆的总长度表示为，由可得，当等号成立时，所用篱笆最短，此时（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少面积最大？设菜园的长为，宽为，则，篱笆的面积表示为，

4、由可得，当等号成立时，面积最大，此时小结：两个实数若它们的积为定值P，则它们的和有最小值，当且仅当等号成立.若它们的和为定值S，则它们的积有最大值，当且仅当等号成立.简记为：积定和最大，和定积最小.利用基本不等式求最值，需要满足的条件是：一正、二定、三相等.题型二：基本不等式在求最值中的应用例2、已知，则函数的最小值为__________变式1：已知，求函数最大值.变式2：已知，求函数的最小值.第4页，共4页基本不等式导学案变式3：已知，求函数的最小值.例3、若，求函数的最大值.课堂小结1、熟记两个不等式2、利用基本不等式求最值时，须满足：一正、二定、三相等.

5、课后思考题：证明下列不等式链课后反思：巩固练习1、设x,y满足，且x,y都是正数，则的最大值是（）A．40B．10C．4D．22、在下列函数中，最小值为2的是（）A.B.C.D.3、若，则函数（）A．有最大值-6．B.有最小值6C有最大值-2D.有最小值2第4页，共4页基本不等式导学案4、已知，则的最小值为__________________5、已知，求函数的最大值.6、已知整数x,y满足，求x+2y的最小值.7、某老师花10万元购买了一辆家用汽车,如果每年使用的保险费,养路费,汽油费约为0.9万元,年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万.则这种汽车

6、使用多少年时,它的年平均费用最少?趣味阅读：中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且尝试对勾股定理加以证明.最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽.赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明.在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABCD是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的.每个直角三角形的面积为；中间的小正方形边长为b-a，则面积为.于是便可得如下的式子：4×+ =化简后便可得： +=第4页，共4页