基本不等式导学案

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1、高一数学必修五第三节：基本不等式导学案命制学校：沙市五中命制老师：高一数学组学习目标：1.理解基本不等式的证明方法,要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“均值不等式”及其推导过程。2.理解利用基本不等式证明不等式的方法学习重点、难点：1.应用数形结合的思想理解基本不等式2.理解利用基本不等式证明不等式的方法3.利用几何特征粗象出代数不等式，利用代数不等式构造几何模型学法指导：启发式教学法知识链接：问题1：若a、b∈R，则代数式a2＋b2与2ab有何大小关系？提示：∵(a2＋b2)－2ab＝(a－b)2≥0.∴a2＋b2≥2ab.问题2：上述结论中，“＝”号何时成立？提示：当且仅

2、当a＝b时成立．问题3：若以，分别代替问题1中的a，b，可得出什么结论？提示：a＋b≥2.问题4：问题3的结论中，“＝”何时成立？提示：当且仅当a＝b时成立．1．重要不等式当a，b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．2．基本不等式1．有关概念：当a，b均为正数时，把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数．2．不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即≤，当且仅当a＝b时，等号成立．(3)变形：ab≤2，a＋b≥2(其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时等号成立)．1．基本不等式成立的条件：a＞0且b＞0；其中等号

3、成立的条件：当且仅当a＝b时取等号，即若a≠b时，则≠，即只能有＜.2．从数列的角度看，a，b的算术平均数是a，b的等差中项，几何平均数是a，b的正的等比中项，则基本不等式可表示为：a与b的正的等比中项不大于它们的等差中项．自主学习：利用基本不等式证明不等式　已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.　由基本不等式可得：a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2，同理：b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2a2c2，∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2，从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.1

4、．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．2．注意多次运用基本不等式时等号能否取到．1．已知a，b是正数，求证≤.证明：∵a＞0，b＞0，∴＋≥2＞0，∴≤＝，即≤(当a＝b时取“＝”).利用基本不等式求最值　(1)已知m，n＞0，且m＋n＝16，求mn的最大值．(2)已知x＞3，求f(x)＝x＋的最小值；(3)设x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，求＋的最小值．　(1)∵m，n＞0且m＋n＝16，所以由基本不等式可得mn≤2＝2＝64，当且仅当m＝n＝8时，mn取到最大值64.∴mn的最

5、大值为32.(2)∵x＞3，∴x－3＞0，＞0，于是f(x)＝x＋＝x－3＋＋3≥2＋3＝7，当且仅当x－3＝即x＝5时，f(x)取到最小值7.(3)法一：∵x＞0，y＞0,2x＋y＝1，∴＋＝＋＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即y＝x时，等号成立，解得x＝1－，y＝－1，∴当x＝1－，y＝－1时，＋有最小值3＋2.法二：＋＝·1＝(2x＋y)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，以下同解法一．1．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即(1)一正：符合基本不等式≥成立的前提条件，a>0，b>0；(2)二定：化不等式的一边为定值；(3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“

6、＝”号成立．以上三点缺一不可．2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．2．(1)已知lga＋lgb＝2，求a＋b的最小值；(2)已知x＞0，y＞0，且2x＋3y＝6，求xy的最大值．(3)已知x＞0，y＞0，＋＝1，求x＋y的最小值．解：(1)由lga＋lgb＝2可得lgab＝2，即ab＝100，且a＞0，b＞0，因此由基本不等式可得a＋b≥2＝2＝20，当且仅当a＝b＝10时，a＋b取到最小值20.(2)∵x＞0，y＞0,2x＋3y＝6，∴xy＝(2x·3y)≤·2＝·2＝，当且仅当2x＝3

7、y，即x＝，y＝1时，xy取到最大值.(3)∵＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)×＝1＋＋＋9＝＋＋10，又∵x＞0，y＞0，∴＋＋10≥2＋10＝16，当且仅当＝，即y＝3x时，等号成立．由得即当x＝4，y＝12时，x＋y取得最小值16.利用基本不等式解应用题　如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36m长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面