二次函数图象和其系数关系

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1、二次函数的图象与其系数的关系——初中数学知识点小结耿马一中字国华关键词：二次函数、图象与系数、关系。参考文献：初中《数学》(人教版)。借助图形来研究数量或以数量来研究图形是数学中常用的一种数学思想。这一数形关系在几何学中的应用较为突出广泛，而在代数中数形结合也不少。对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)有与其相应的图象（即抛物线），而只要知道二次函数图象的开口方向、顶点以及与两轴的交点等三要素，则其图象可大体画出。二次函数图象的开口方向、顶点以及与两轴的交点等三要素却与二次函数的解析式y=ax2+bx+c(a≠0)中的系数a、b、c等的性质有着密切的关系，即二次函数的图象与其系数的

2、关系。了解和掌握这一关系对我们进一步学习和研究二次函数有很大的帮助。一、由a确定开口方向yy在二次函数的解析式y=ax2+bx+c(a≠0)中，当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下，并且开口大小随︱a︱的增而增大。这是二次函数的基本性质。图例如下：0x0x①(a＞0)②(a＜0)简述：a正口向上，a负口向下。二、由c确定抛物线与y轴的交点二次函数的图象不管开口向上还是向下，总与y第6-6页轴有且只有一个交点。由二次函数的解析式y=ax2+bx+c(a≠0)，当x=0时，y=c,即点（0,c）就是上述交点。由此看出，此交点与c有直接关系。分以下三种情况：yyyyy1、当

3、c＞0时，交点（0，c）在y轴的正半轴，即抛物线交y轴于正半轴。图例如下：00000xxxxxyyyyy①②③④⑤00xxxxx000⑥⑦⑧⑨⑩简述：c正交y正。2、当c=0时，交点（0，c）=（0，0）即为原点。抛物线经过原点，也就交y轴于原点。图例如下：yyyyyyxxxxxx000000①②③④⑤⑥简述：c零交y原。yyyyy3、当c＜0时，交点（0，c）在y轴的负半轴，即抛物线交y轴于负半轴。图例如下：00000xxxxxyyyyy①②③④⑤00000xxxxx⑥⑦⑧⑨⑩第6-6页简述：c负交y负。三、由⊿确定与x轴的交点的个数由于抛物线与x轴的交点就在x轴上，由二次函数的解析

4、式y=ax2+bx+c(a≠0)，知：交点为（-，0），则有0=ax2+bx+c。而ax2+bx+c=0成立（有解）与否，只要看⊿=b2-4ac，而此式中就有a、b、c，也就是抛物线跟x轴的交点与a、b、c关系。分以下三种情况：yyyyy1、当⊿＞0时，方程ax2+bx+c=0有两个不相等实根x1≠x2，也就是抛物线与x轴有两个不同的交点（x1，0）、（x2，0）。图例如下：00xxxxx000①②③④⑤0yyyyyxxxxx0000⑥⑦⑧⑨⑩yyyyy2、当⊿=0时，方程ax2+bx+c=0有两个相等实根x1=x2，也就是抛物线与x轴只有唯一个交点（x，0）=（-，0）。图例如下：0

5、00yxxx000xxx①②③④⑤⑥yyyyyy3、当⊿＜0时，方程ax2+bx+c=0没有实根，也就是抛物线与x轴没有交点。图例如下：000xxxxxx000①②③④⑤⑥第6-6页以上三种情况可简单归述为：⊿为正二交横，⊿为零一交横，⊿为负不交横。四、由a、b、c确定顶点的位置把二次函数的解析式进行配方：y=ax2+bx+c=a(x+)2+）=a(x-h)2+k(a≠0)则其顶点坐标为（-，）=(h,k)，对称轴为x=-=h。分以下三种情况：yy1、当b=c=0，即y=ax2=a(x-0)2+0时，对称轴为直线x=0(即y轴)。则顶点为（0，0）（即原点）。图例如下：0xx0（a＞0

6、,b=c=0）（a＜0,b=c=0）简述：b、c同零顶在原。2、当b=0而c≠0，即y=ax2+c=a(x-0)2+c时，对称轴为直线x=0（即y轴）,顶点为（0，c），则顶点在y轴上。此情又分以下两种情况：yy⑴、当c＞0时，顶点在y轴的正半轴。且当a＞0时，抛物线与x轴无交点（如下图①）；而当a＜0时，抛物线与x轴有两个交点（如下图②）。xx00图①(a＞0)图②(a＜0)⑵、、当c＜0时，顶点在y轴的负半轴。且当a＞0时，抛物线与x轴有两个交点（如下图①）；而当a＜0时，抛物线与x轴无交点（如下图第6-6页②）。00yyxx图①(a＞0)图②(a＜0)简述：b零c正顶y正，b零c

7、负顶y负。3、当b≠0，c≠0时，可由a、b的符号确定顶点位置。此情又分以下两种情况：yyyy⑴、当a、b同号时，则-＜0，对称轴x=-在y轴的左边，即顶点（-，）在y轴的左边。图例如下：000xx0xx①②③④yyyy⑵、当a、b异号时，则-＞0，对称轴x=-在y轴的右边，即顶点（-，）在y轴的右边。图例如下：00xx00xx①②③④简述：a、b同号顶y左；a、b异号顶y右。综上所述：由系数（或系数关系）可速知图像“三要素”（即开口方向、顶点