第八章第五节椭圆

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1、第八章第五节椭圆一、选择题1．(2011·新课标全国卷)椭圆＋＝1的离心率为(　　)A.　　　　　　　　B.C.D.解析：∵a2＝16，b2＝8，∴c2＝8.∴e＝＝.答案：D2．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是(　　)A.＋＝1　　　　　　　　B.＋＝1C.＋y2＝1D.＋＝1解析：由x2＋y2－2x－15＝0，知r＝4＝2a⇒a＝2.又e＝＝，c＝1.答案：A3．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A

2、，B两点．在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为(　　)A．6B．5C．4D．3解析：根据椭圆定义，知△AF1B的周长为4a＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.答案：A4．如图所示，椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，左焦点为F，A、B、C为其三个顶点，直线CF与AB交于D点，则tan∠BDC的值等于(　　)A．3　　　　　　　　　　B．－3C.D.解析：由e＝知＝＝，＝.由图知tan∠DBC＝tan∠ABO＝＝，tan∠DCB＝tan∠FCO＝＝.tan∠BDC＝－tan(

3、∠DBC＋∠DCB)＝－＝－3.答案：B5．方程为＋＝1(a>b>0)的椭圆的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，D是它短轴上的一个端点，若3＝＋2，则该椭圆的离心率为(　　)A.B.C.D.解析：设点D(0，b)，A(－a,0)则＝(－c，－b)，＝(－a，－b)，＝(c，－b)，由3＝＋2得－3c＝－a＋2c，即a＝5c，故e＝.答案：D二、填空题6．(2012·江南十校联考)设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，

4、OM

5、＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为_

6、_______．解析：由题意知

7、OM

8、＝

9、PF2

10、＝3，∴

11、PF2

12、＝6.∴

13、PF1

14、＝2×5－6＝4.答案：47．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3,0)，

15、

16、＝1，且·＝0，则

17、

18、的最小值是________．解析：∵

19、

20、·＝0，∴⊥.∴

21、

22、2＝

23、

24、2－

25、

26、2＝

27、

28、2－1，∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故

29、

30、min＝2，∴

31、

32、min＝.答案：三、解答题8．(2011·陕西高考)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为.(1)求C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率

33、为的直线被C所截线段的中点坐标．解：(1)将(0,4)代入C的方程得＝1，∴b＝4.又e＝＝得＝，即1－＝.∴a＝5.∴C的方程为＋＝1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0，解得x1＝，x2＝，∴AB的中点坐标＝＝，＝＝(x1＋x2－6)＝－.即中点坐标为(，－)．9．(2012·天津河西模拟)设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点．(1)若P是第一象限

34、内该椭圆上的一点，且·＝－，求点P的坐标；(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角(其中O为原点)，求直线l斜率k的取值范围．解：(1)由题意知a＝2，b＝1，c＝，所以F1(－，0)，F2(，0)．设P(x，y)(x>0，y>0)，＝(－－x，－y)，＝(－x，－y)．由·＝－，得x2＋y2－3＝－.联立解得点P(1，)．(2)可设l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．将y＝kx＋2代入椭圆方程，得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0.由

35、Δ＝(16k)2－4·(1＋4k2)·12>0，得k2>.　①又y1·y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4，∵∠AOB为锐角，所以·>0，即x1x2＋y1y2>0.即(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＋2k(－)＋4＝>0.所以－b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰好为椭圆的左焦点F1，M是椭圆的右顶点，N是椭圆的上顶点，且＝λ(λ

36、>0)．(1)求该椭圆的离心率；(2)若过右焦点F2且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A1，直线A1B与x轴交于点R(4,0)，求椭圆C的方程．解：(1)令x＝－c，得y＝，所以点P的坐标为(－c，)，由

37、

38、＝λ(λ>0)得到＝，所以b＝c，a2＝2c2.即离心率e＝.(2)设直线l的方程为x＝my＋c(m≠0)，与椭圆方程＋＝1联立得到(m2y2＋2mcy＋c2)＋2y2＝2c2，即(m2＋2)y2＋2mcy－c2＝0