第八章椭圆教案

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1、8.1椭圆及其标准方程1.椭圆定义：平面内与两个定点的距离和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．注意:椭圆定义中容易遗漏的三处地方：（1）必须在平面内;（2）两个定点---两点间距离确定;（3）绳长---轨迹上任意点到两定点距离和确定.思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（趋向于线段）；两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（趋向于圆）。由此可知，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关．♦求动点轨迹方程的一般步骤：坐标法（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件P（M）

2、；（3）用坐标表示条件P（M），列出方程；（4）化方程为最简形式；（5）证明以化简后的方程为所求方程(可以省略不写，如有特殊情况，可以适当予以说明)2.椭圆的标准方程：建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁”焦点在x轴：焦点在y轴：注意:共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.不同点：焦点在x轴的椭圆x2项分母较大；焦点在y轴的椭圆y2项分母较大。练习：1.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点为F1(0,－3)，F2(0,3),且a=5；（2）两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过P(2,3)点；（3

3、）经过点P(－2,0)和Q(0,－3).2.已知方程表示焦点在X轴上的椭圆，则m的取值范围是(0,4)3.已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是(1,2)小结：求椭圆标准方程的步骤：①定位：确定焦点所在的坐标轴；②定量：求a,b的值.8.2椭圆的几何性质1.范围：-a≤x≤a,-b≤y≤b椭圆落在x=±a,y=±b组成的矩形中2.对称性：①从方程上看：（1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称；（2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中心对称。②从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。椭圆的中心是焦点连线的中点

4、，对称轴是焦点连线及其中垂线，与坐标无关。3.椭圆的顶点①顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点，即（-a，0），（a，0），（0，-b），（0，b）。一般二次曲线的顶点即是曲线及其对称轴的交点。②长轴：线段A1A2叫做椭圆的长轴，长为2a，a叫做椭圆的长半轴。短轴：线段B1B2叫做椭圆的短轴，长为2b，b叫做椭圆的短半轴。4.离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率。注意：①离心率的取值范围：0

5、关。5.椭圆的第二定义：平面内的动点M与一个定点F的距离和它到一条定直线L的距离的比是常数e，当0b>0）的准线是y=注意：①；②中心到准线的距离：，两准线间距离：；焦点到相应准线间距离：，焦点到相对准线间距离：+；长轴顶点到相应准线间的距离：：长轴顶点到相对准线的距离：6.焦点弦：由焦半径引申过来的，是指过焦点且垂直于长轴的弦，其长度为7.椭圆的参数方程椭圆上的点可以引入

6、一个参数表示，即，我们把这个方程叫做椭圆的参数方程。练习1：将下列参数方程化为普通方程,普通方程化为参数方程:例如图，以原点为圆心，分别以a、b(a>b>0)为半径作两个大圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥Ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时，点M的轨迹的参数方程。解：设点为始边，为终边的正角，为参数，则，，（为参数），这就是椭圆的参数方程。其中为长半轴的长，为短半轴的长，叫离心率，但不是与所成的角，而是与轴所成的角。8.椭圆的参数方程和圆的参数方程的异同9.直线与椭圆的位置关系（1）只能用代数法判断椭圆与直线的位置关系，因为他们不像圆一样

7、有统一的半径。代数法是求解直线与二次曲线有关问题的通法。（2）直线与椭圆相交所截得弦的弦长弦长公式：小结：（1）椭圆与直线的位置关系及判断方法①联立方程组；②消去一个未知数；③∆<0，∆=0，∆>0；这是求解直线与二次曲线有关问题的通法。（2）直线与二次曲线相交弦长的求法①直线与圆相交的弦长②直线与其它二次曲线相交（ⅰ）联立方程组；（ⅱ）消去一个未知数；（ⅲ）利用弦长公式:

8、AB

9、==k表示弦的斜率，x1、x2、y1、y