第八章第5讲椭圆

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1、第5讲　椭　圆1．椭圆的概念在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M

4、

5、MF1

6、＋

7、MF2

8、＝2a}，

9、F1F2

10、＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程＋＝1(a＞b＞0)＋＝1(a＞b＞0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：(0，0)顶点A1

11、(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b焦距

12、F1F2

13、＝2c离心率e＝，e∈(0，1)a，b，c的关系c2＝a2－b2[做一做]1．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是(　　)A.＋＝1　　　　　　　B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：选D.右焦点为F(1，0)说明两层含义：椭圆的焦点在x轴上；c＝1.又离心率为＝，故a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，故椭圆的方程为＋＝1.2．(2

14、015·浙江省名校联考)已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，过点F2作x轴的垂线交椭圆于A，B两点，则△F1AB的周长为________．解析：由已知可得△F1AB的周长为

15、AF1

16、＋

17、AF2

18、＋

19、BF1

20、＋

21、BF2

22、＝4a＝8.答案：81．辨明两个易误点(1)椭圆的定义中易忽视2a＞

23、F1F2

24、这一条件，当2a＝

25、F1F2

26、时，其轨迹为线段F1F2，当2a＜

27、F1F2

28、时，不存在轨迹．(2)求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为＋＝1(a＞b＞0)．2．求椭圆标准方程的两种方法(1)定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结

29、合焦点位置可写出椭圆方程．(2)待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a、b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．[做一做]3．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为(　　)A.＋y2＝1B.＋＝1C.＋y2＝1或＋＝1D．以上答案都不对解析：选C.直线与坐标轴的交点为(0，1)，(－2，0)，由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.当焦点在y轴上时，b

30、＝2，c＝1，∴a2＝5，所求椭圆标准方程为＋＝1.故选C.4．(2015·江苏常州调研)若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．解析：由已知得，解得3b>0)的左、右焦点为

31、F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D.＋＝1[解析]　(1)依题意，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则有，由此解得a2＝20，b2＝5，因此所求的椭圆方程是＋＝1.(2)由e＝，得＝①.又△AF1B的周长为4，由椭圆定义，得4a＝4，得a＝，代入①得c＝1，∴b2＝a2－c2＝2，故C的方程为＋＝1.[答案]　(1)C　(2)A[规律方法]　用待定系数法求椭圆标准方程的四个步骤：(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标

32、轴都有可能．(2)设方程：根据上述判断设出方程．(3)找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c的方程组．(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．　1.(1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(－，－)，则椭圆的方程为________；(2)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________．解析：(1)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．∵椭圆经过P1，P2两点，∴P1，P2点坐标适合椭圆方程，则①②

33、两式联立，解得∴所求椭圆方程为＋＝1.(2)设

34、PF1

35、＝r1，

36、PF2

37、＝r2，则∴2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋