第九篇解析几何第5讲椭圆.doc

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1、第5讲　椭　圆1．考查椭圆的定义及利用椭圆的定义解决相关问题．2．考查椭圆的方程及其几何性质．3．考查直线与椭圆的位置关系．【复习指导】1．熟练掌握椭圆的定义及其几何性质会求椭圆的标准方程．2．掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归等．体会解析几何的本质问题——用代数的方法解决几何问题．基础梳理1．椭圆的概念在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于

2、F1F2

3、)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．集合P＝{M

4、

5、MF1

6、＋

7、MF2

8、＝2a}，

9、F1F2

10、＝2c，其中a＞0，

11、c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)图　形续表范　围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a性　　质对称性对称轴：坐标轴　　对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距

12、F1F2

13、＝2c离心率e＝∈(0,1)a，b，c的关系c2＝

14、a2－b2一条规律椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系：给出椭圆方程＋＝1时，椭圆的焦点在x轴上⇔m＞n＞0；椭圆的焦点在y轴上⇔0＜m＜n.两种方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2、b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a、b、c的方程组，解出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程．三种技巧(1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a－c.(2)求椭圆离心率e时，只要求

15、出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2＝a2－c2就可求得e(0＜e＜1)．(3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴．双基自测1．(人教A版教材习题改编)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为(　　)．A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1或＋＝1D．以上都不对解析　∵2a＋2b＝18，∴a＋b＝9，又∵2c＝6，∴c＝3，则c2＝a2－b2＝9，故a－b＝1，从而可得a＝5，b＝4，∴椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.答案　C2．(2012·合肥月

16、考)设P是椭圆＋＝1上的点，若F1、F2是椭圆的两个焦点，则

17、PF1

18、＋

19、PF2

20、等于(　　)．A．4B．5C．8D．10解析　依椭圆的定义知：

21、PF1

22、＋

23、PF2

24、＝2×5＝10.答案　D3．(2012·兰州调研)“－3＜m＜5”是“方程＋＝1表示椭圆”的(　　)．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析　要使方程＋＝1表示椭圆，应满足解得－3＜m＜5且m≠1，因此“－3＜m＜5”是“方程＋＝1表示椭圆”的必要不充分条件．答案　B4．(2012·淮南五校联考)椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为(　　)．A．－2

25、1B．21C．－或21D.或21解析　若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝，由＝即＝，得k＝－；若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝，由＝，即＝，解得k＝21.答案　C5．(2011·全国新课标)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．解析　根据椭圆焦点在x轴上，可设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)．∵e＝，∴＝，根据△ABF2的周长为16得4a＝16，因此a＝4，b＝2，所以椭圆方程为＋＝1.答案　＋＝1　考向一　椭圆定义的应

26、用【例1】►(2011·青岛模拟)已知F1、F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.[审题视点]关键抓住点P为椭圆C上的一点，从而有

27、PF1

28、＋

29、PF2

30、＝2a，再利用⊥，进而得解．解析　由题意知

31、PF1

32、＋

33、PF2

34、＝2a，⊥，∴

35、PF1

36、2＋

37、PF2

38、2＝

39、F1F2

40、2＝4c2，∴(

41、PF1

42、＋

43、PF2

44、)2－2

45、PF1

46、

47、PF2

48、＝4c2，∴2

49、PF1

50、

51、PF2

52、＝4a2－4c2＝4b2.∴

53、PF1

54、

55、PF2

56、＝2b2，∴S△PF1F2＝

57、PF1

58、

59、PF2

60、＝

61、×2b2＝b2＝9.∴b＝3.答案　3椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定