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《两类均衡函数的结构分析与一类状态变权向量的构造_李德清》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、2003年10月北京师范大学学报(自然科学版)Oct.2003第39卷第5期JournalofBeijingNormalUniversity(NaturalScience)Vol.39No.5两类均衡函数的结构分析与＊一类状态变权向量的构造李德清冯艳宾王加银李洪兴(北京师范大学数学系,100875,北京∥第一作者37岁,男,硕士)摘要基于均衡函数之间的一种等价关系定义了均衡函数的等效性.在该等效意义下证明了和型与积型均衡函数在结构上的某种同一性.通过分析一类特殊的状态变权向量,进一步揭示了状态变权向量与均衡函数之间的内在联系.然后,利用取大、取小算子构造了一类状态变权向量,该类状态变权向量
2、注重最大或最小因素状态值的作用,在实际应用中可以消除一些决策环境中的“噪声”影响.关键词变权综合;状态变权向量;均衡函数;均衡函数的等效分类号O1590引言m在多因素决策系统中,一种常见的决策模型是加权平均模型:∑wjxj,其中xj为因素的状j=1m态值,wj∈[0,1](j=1,…,m)为因素的权重,满足∑wj=1.因该模型中因素的权重总是保j=1持不变,故又称其为常权综合.文献[1]先用一个例子说明,常权综合因为“以权重的不变”应“状态值的万变”,这在实际应用中有一定的局限性,可能会导致做出不科学的决策.进而给出变权综合模型:mm∑wj(x1,…,xm)xj,其中wj(x1,…,xm)
3、∈[0,1](j=1,…,m),∑wj(x1,…,xm)=1.j=1j=1现有文献主要讨论了如下2种形式的变权:ⅰ)如果wj(x1,…,xm)连续并且关于xj单调下降,则称其为惩罚型变权;ⅱ)如果wj(x1,…,xm)连续并且关于xj单调增加,则称为激励型变权.为更好地掌握权重的变化规律,文献[1]引入了状态变权向量的概念,在深入研究状态变权向量与变权向量之间的内在联系后,给出了其公理化定义,其中一个重要条件是“因素常权向量与状态变权向量归一化的Hadamard乘积为变权向量”.并根据相应的变权结果,将状态变权向量分为惩罚型状态变权向量、激励型状态变权向量以及混合型状态变权向量.随后,通过
4、引入均衡函数的概念,为构作状态变权向量提供了一般方法,因为“均衡函数的梯度向量即为状态变权向量”.变权、状态变权向量以及均衡函数构成了一套完善的理论体系,我们称其为变权原理(详细知识请参见文献[1-2]).因此,要寻求因素权重的变化规律,关键在于构作合适的状态变权向量或均衡函数.文献[2]给出了均衡函数的构造方法,文献[3-4]讨论了2类均衡函数:＊国家自然科学基金资助项目(60174013);教育部博士点基金资助项目(20020027013);教育部科学技术重点资助项目;国家“九七三”重大基础研究计划基金资助项目(2002CB312200)收稿日期:2003-01-13596北京师范大学
5、学报(自然科学版)第39卷mm和型均衡函数B1(X)=∑g(xj)(g′(t)>0且单调减);积型均衡函数B2(X)=∏h(xj)j=1j=1(h′(t)>0且单调减).文献[5]给出了一种直接构造状态变权向量的方法.在上述工作基础上,本文首先证明了以下结论:在某种意义下,文献[3-4]中的2种均衡函数可以视为同一类均衡函数.然后,利用取小算子和取大算子,构造了一类有趣的状态变权向量.1和型与积型均衡函数的结构分析1.1预备知识[5]定义1设S′(X)=(S′(1X),…,S′m(X)),S″(X)=(S″1(X),…,S″m(X))为m维状态变权向量,对任何常权向量W=(w1,…,wm)
6、,由S′(X)和S″(X)得到的变权向量分别为W·S′(X)W·S″(X)W′(X)=m,W″(X)=m.∑(wjS′j(X))∑(wjS″j(X))j=1j=1若W′(X)=W″(X),则称S′(X)和S″(X)等效,记作S′(X)∽S″(X).定义2设B1(X)和B2(X)均为m维惩罚(激励)型均衡函数,若由它们的梯度向量构作的状态变权向量等效,则称B1(X)和B2(X)等效.记作B1(X)∽B2(X).[5]引理1如果映射S:X※S(X)=(S1(X),…,Sm(X)),满足条件:1)惩罚性:xi≥xjSi(X)≤Sj(X);2)连续性:Sj(X)(j=1,…,m)对每个变元连续;3
7、)转移性:Si(X)关于xi单减,但任意凸组合∑wkSk(X)关于xi非减.k≠i则S(X)为一个m维惩罚型状态变权向量.[5]引理2设S′(X)=(S′(1X),…,S′m(X)),S″(X)=(S″1(X),…,S″m(X))为m维状态变权向量,则S′(X)∽S″(X)的充要条件为S′1(X)S′2((X)S′m(X)==…=.S″1(X)S″(2X)S″m(X)1.2和型与积型均衡函数的的结构分析命题1设B(X)是
