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1、1999年7月系统工程理论与实践第7期状态变权的公理化体系和均衡函数的构造朱勇珍,李洪兴(北京师范大学数学系,北京100875)摘要改造了原始的状态变权向量公理化定义,给出了若干变权实例,构造了两种常用的均衡函数.关键词常权;变权;状态变权;均衡函数AxiomaticSystemofStateVariableWeightsandConstructionofBalanceFunctionsZHUYongzhen,LIHongxing(DepartmentofMathematics,BeijingNo
2、rmalUniversity,Beijing100875)AbstractAnewdefinitonofstatevariableweightsisgivenandsomepropertiesarediscussed.Thensomeinterestingexamplesareintroduced.Atlasttwokindsofusefulbalancefunctionsarestudied.Keywordsconstantweights;variableweights;statevariable
3、weigths;balancefunc-tions1问题的提出汪培庄在文献[4]中提出变权综合思想并给出一种经验公式.李洪兴在文献[1,2,3]中对变权原理进行了深入而又本质性的讨论,得到许多重要结论.例如,变权向量可表示为因素常权向量W0=(w1,⋯,wm)和状态变权向量S(X)=(S1(X),⋯,Sm(X))的归一化的Hadamard乘积;状态变权向量S(X)是均衡函数(m维实函数)B(x1,⋯,xm)的梯度向量,即GradB(X)=S(X).在上述工作基础上,已有一些学者致力于状态变权的性质的
4、研究以及均衡函数的构造问题(比如文献[5]).正如李洪兴指出的那样,状态变权的公理化体系还不完善,有待改造.本文便对状态变权向量的公理化结构进行了探讨,考虑了两种常见的均衡函数的构造;此外,还给出了一些变权的实例.2几个定义和几个例子m定义1[1]称Wm0=(w1,⋯,wm)∈(0,1]为常权向量(简称常权),如果满足归一性:∑wj=1.j=1定义2[1]给定映射W:[0,1]m→(0,1]m,称W(X)=(w1(X),⋯,wm(X))为变权向量,如果满足条件:mw.1)归一性:∑wj(x1,⋯,x
5、m)=1;j=1w.2)逐元连续性:j(1≤j≤m),wj(x1,⋯,xm)关于每个变元xk(k=1,⋯,m)连续;收稿日期:1998-11-03资助项目:国家自然科学基金资助项目(69474014)第7期状态变权的公理化体系和均衡函数的构造117w.3)惩罚性:wj(x1,⋯,xm)关于xj单增,或者w.3′)激励性:wj(x1,⋯,xm)关于xj单降.若W满足w.1),w.2)及w.3),则称W为惩罚型变权向量;若W满足w.1)、w.2)及w.3′),则称W为激励型变权向量.注:除定义2中两
6、种常见变权以外,还有其它类型变权,如混合型变权[2].[1]mm定义3给定映射S:[0,1]→(0,1],X→S(X)(S1(X),⋯,Sm(X)),如果满足条件:s.1)Sj(ij(X))=Sj(X),这里ij(x1,⋯,xi,⋯,xj,⋯,xm)=(x1,⋯,xj,⋯,xi,⋯,xm);s.2)xi≥xjSi(X)≤Sj(X);s.3)Sj(x1,⋯,xm)对每个变元连续;s.4)对任何常权W0=(w1,⋯,wm),置W0S(X)W(X)=m(1)∑(wjSj(X))j=1其中W(X)满
7、足定义2的条件,则称S为状态变权向量;这时若满足w.1)、w.2)、w.3),则称S为惩罚型状态变权向量;若满足w.1)、w.2)、w.3′),S便叫做激励型状态变权向量.定义4[1]映射B:[0,1]m→R叫做均衡函数,如果它的梯度向量gradB=!B,⋯,!B为一个状态!x1!xm变权向量;当gradB为惩罚(激励)型时,B亦叫做惩罚(激励)型均衡函数.mmm[1]1例1B1(X)=∑xj和B2(X)=∏xj都是均衡函数,若置B3(X)=∏xj(>0且≠1),j=1j=1j=1易知它也是
8、均衡函数.m例2取B4(X)=∑(e-e-xj),不难验证它亦为均衡函数.j=13状态变权向量公理体系的修正由于定义3中的公理s.1)过于苛刻,故会导致某种平凡性,因此我们将对该定义进行修改(见下述的定义5).mm定义5称映射S:[0,1]→(0,1],S(X)(S1(X),⋯,Sm(X))为一个m维惩罚型状态变权向量,如果满足条件:S1)惩罚性:xi≥xjSi(X)≤Sj(X);(1)(1)S2)转移性:Si(X)关于xi单减,但凸组合∑wkSk(X)关于xi不减
