资源描述：
《状态变权向量的性质与构造》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、2002年8月北京师范大学学报(自然科学版)Aug.2002第38卷第4期JournalofBeijingNormalUniversity(NaturalScience)Vol.38No.4*状态变权向量的性质与构造李德清李洪兴(北京师范大学数学系,100875,北京第一作者37岁,男,硕士)摘要首先讨论了状态变权向量的基本性质;然后,指出在满足一定的条件下基于这些性质可以由已知的状态变权向量构作新的状态变权向量.给出了状态变权向量等效性的定义,并指出该等效性是一个等价关系.最后给出利用状态向量的均值直接构造状态变权向量的方法,从而得到了一类新的状态
2、变权向量.关键词变权综合;状态变权向量;均衡函数;决策与模糊决策分类号O1590引言在决策系统中,如果将作为决策或信息融合工具的综合函数Mm取作可加型标准综合函[13][1,3]数(即ASMmfunc),则该系统称为可加性系统.可加型标准综合函数常取作如下形式:mMm(x1,,xm)=!wjxj.j=1这就是熟知的加权平均,因为其中的权值是常数,故该式称为常权综合.常权综合在一定程度上反映了事物关于各基本因素的综合优度,其常权基本反映了各基本因素在决策中的相对重要性,因此在许多场合中具有一定的合理性而被广泛地使用.然而无论诸因素的状态向量X=(x1,,
3、xm)如何变化,权向量W=(w1,,wm)总是固定不变,即W以∀不变#应X的∀万变#,这在一些实际问题中会出现不合理现象(一个典型例子见文献[4]).为了解决这类问题,汪培庄教授首先提出了变权思想,李洪兴教授又基于因素空间理论对变权原理进行了深入而又本质性的讨论,给出了变权向量和状态变权向量的公理化定义,并得出了如下重要结论:1)变权向量W(X)=(W1(X),,Wm(X))可表示为因素常权向量W和状态变权向量S(X)的归一化的Hadamard乘积;2)状态变权向量S(X)是均衡函数的梯度向量(参见文献[4]).因此,不难理解,利用变权原理关键在于构造出相应的状
4、态变权向量.李洪兴教授在文献[4]中提出通过构造均衡函数来获得状态变权向量,并且在文献[5]中给出了一系列构造均衡函数的方法.在上述工作基础上,又陆续有文献对状态变权的公理化体系[68]和性质以及均衡函数的构造问题进行了研究.本文讨论了状态变权向量的性质,并给出了一个不构造均衡函数而直接构造状态变权向量的方法.1关于状态变权向量定义的讨论[4]定义1所谓一组变权是指下述m个映射Wj(j=1,,m).*国家自然科学基金资助项目(69974006,60174013)收稿日期:20020322456北京师范大学学报(自然科学版)第38卷mWj:[0,1
5、]∃[0,1](x1,,xm)∃Wj(x1,,xm)满足3条公理:mW1)归一性:!Wj(x1,,xm)=1;j=1W2)连续性:Wj(x1,,xm)(j=1,,m)关于每个变元连续;W3)惩罚性:Wj(x1,,xm)关于变元xj单调下降.记W(X)=(W1(X),,Wm(X)),称之为变权向量.因W3)的惩罚性之故,W(X)又叫做惩罚型变权向量.公理W3)可换为如下的W3%):W3%)激励性:Wj(x1,,xm)关于变元xj单调增加.这时我们称W(X)为激励型变权向量.文献[4]给出了状态变权公理化定义,但正如文献[6]所指出的,定义中的条件1有些苛刻,故将
6、定义稍做修改,成为如下形式:mm定义2构作映射S:[0,1]∃[0,1],X∃S(X)=(S1(X),,Sm(X)),称S为一个(m维)状态变权向量,如果满足以下公理:S1)xi&xjSi(X)∋Sj(X);S2)Sj(X)对每个变元连续(j=1,,m);S3)对任何常权向量W=(w1,,wm),下式满足定义1中的公理W1),W2),W3):(w1S1(X),,wmSm(X))W(S(X)W(X)=m=m,(1)!(wjSj(X))!(wjSj(X))j=1j=1则称S为惩罚型状态变权向量.显然,S1)体现了带有惩罚机制的均衡性.不难想到,若把S1)换为如下
7、的条件:S1%)xi&xjSi(X)&Sj(X),且W3)改为W3%),则该公理系统便具有了激励机制的均衡性;这时S叫做激励型状态变权向量.注1文献[6]曾对文献[4]中的状态变权公理化定义做过修改,其条件除满足上述S1)和S2)外,第3条规定为:S3%)Si(X)关于xi单减,但任意凸组合!wkSk(X)关于xi非减.k)i[4]并且用一个定理表明由S3%)能推出S3),即该定义蕴涵原定义.不过也有例子说明这样的定义并不好用.事实上,文献[5]的例1.3给出一个常用的状态变权向量:-1Sj(X)=x1xj-1xjxj+1xm(>0),j=1,2
8、,,m.(2)易知该状态
