信号与系统（任勇）第二章-连续时间线性定常系统时域分.doc

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1、《信号与系统》第二章：LTI连续时间系统的时域分析第二章：连续时间线性定常系统时域分析§2.1系统的数学模型lR、L、C上的电压与电流关系——关系模型¨电阻：（2-1）或（2-2）图2-1电阻图2-2电压作用于电阻产生电流图2-3电流作用于电阻产生电压¨电感：（2-3）或：（2-4）图2-4电感上的直流不产生电压15《信号与系统》第二章：LTI连续时间系统的时域分析图2-5电流作用于电感产生电压图2-6电压作用于电感产生电流¨电容：（2-5）或：（2-6）图2-7电容上的恒压不产生电流图2-8电压作用于电

2、容产生电流图2-9电流作用于电容产生电压¨求和（相加）：（2-7）图2-10信号汇聚流图¨分支：（2-8）15《信号与系统》第二章：LTI连续时间系统的时域分析图2-11信号分支流图须注意，信息可以拷贝，可以无限复制；而物质则只能被瓜分式共享。lLTI连续时间系统的状态空间模型（此内容不作为本章重点）（《信号与系统》第二版（郑君里）12.1，12.2，12.3）：例1：如图2-12电路求：（1），（2）解：列回路电流、电压方程：消去i1、i2、i3，得下列方程：图2-12例1电路图¨定义（状态）：能够表征

3、系统时域动力学行为的一组最小内部变量组。·物理上，状态的维数dimX(t)=系统中独立储能元件的个数·状态的选取可以不唯一15《信号与系统》第二章：LTI连续时间系统的时域分析¨状态空间模型：（状态方程）（2-9）（观测方程/输出方程）（2-10）其中，V(t)=，为输入向量（r维）X(t)=，为状态向量（n维）Y(t)=，为输出向量（m维）(t)=图2-13系统的状态空间模型¨方程的解为：X(t)=eAtX(0)+BV(τ)dτ（2-11）Y(t)=CeAtX(0)+CB+DV(τ)dτ（2-12）若V

4、(t)、X(0)已知，则X(t)、Y(t)确定。注：（2-11）的两项分别是状态向量的零输入响应与零状态响应；（2-12）的两项分别是输出向量的零输入响应与零状态响应。lLTI系统的微分方程模型：具有n个独立储能元件的单输入单输出（SISO）系统，输出输入关系为：已知输入V(t)、输出初值，求y(t)=？lLTI系统的系统算子模型（郑君里书：2.8）：¨令：，则微分方程模型化为算子模型：令：15《信号与系统》第二章：LTI连续时间系统的时域分析有：（2-13）其中，称为系统算子。¨注意三点：·与的公因式一

5、般不可相消·与的顺序一般不可交换·对于不同的物理系统，其输入—输出方程可以相同¨可对进行因式分解，其基本单元为：（2-14）只需对（2-14）两端施以p+a运算，即可证明等式成立；并可进一步推得（2-19）式的成立。§2.2LTI系统的响应（《信号与系统》第二版（郑君里）2.2，2.3，2.4）lLTI系统的微分方程：下面讨论系统在的输出。¨起始状态（状态）：，简记为Y(0-)¨初始状态（状态）：，简记为Y(0+)，亦称为初始条件¨一般地，Y(0-)≠Y(0+)¨零输入（zeroinput）响应：没有外加

6、激励信号的作用，即≡15《信号与系统》第二章：LTI连续时间系统的时域分析0，由起始状态y(0-)≠0所产生的响应；此时，Y(0+)=Y(0-)。¨零状态（zerostate）响应：起始时刻系统储能为0，即Y(0-)≡0，由系统的外加激励信号所产生的响应；此时，系统储能瞬间发生了跳变，Y(0+)¹Y(0-)=0。l零输入响应：，Y(0-)≠0（2-15）　　　特征方程：（2-16）　　　特征根：（2-17）　　　在特征根无重根的情况下：（2-18）有k重根时，对应这个重根的解有k项，参见郑君里书（2-14

7、）式。这些属于线性常系数微分方程的求解问题，此不赘述。l零状态响应：Y(0-)=0，（2-19）此式不难从（2-14）式推得。齐次解＋特解（2-20）特解反映输入对输出的胁迫（强迫）；由Y(0+)≠0带入确定。在输入激励信号作用的瞬间，系统完成了初始储能，从零起始状态跳变到非零初始状态。因此，为了求得系统在tÎ[0+,¥)区间的响应，须将Y(0+)¹Y(0-)的初始值代入到里求待定系数。这一点在解题时经常容易出错。l自由响应、强迫响应：15《信号与系统》第二章：LTI连续时间系统的时域分析系统响应＝齐次

8、解＋特解

9、带入Y(0+)≠Y(0-)＝0(t≥0)　自由响应强迫响应（受迫响应）系统的自由响应由特征根（亦称极点）决定，是系统自身的属性，故亦可形象地称为自有响应。它包括两部分：一部分由起始状态（初始储能）通过极点引发，构成零输入响应；另一部分由输入激励通过极点引发。二者都激发了系统的本能，产生输出。强迫响应则只与激励信号有关，而与系统极点无关。可以从郑君里书（2-31）、（2-34）考察自由响应+受迫响应、零输入响应+零状态