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1、信号与系统SignalsandSystems倪育德中国民航大学第2章连续时间系统的时域分析SignalsandSystems2.1微分方程的建立与求解2.2起始点的跳变—从0-到0+状态的转换2.3零输入响应和零状态响应2.4冲激响应与阶跃响应2.5卷积线性时不变系统的描述连续时间系统用n阶常系数微分方程描述e(t)为激励，r(t)为响应；Ci、Ej为常数（i=0,1,2,…,n；j=0,1,2,…,m）。连续时间系统的时域分析，就是在时域中直接求解n阶常系数微分方程，获取响应r(t)。中国民航大学CAUC2.1微分方程的建立与求解一、微分方程的建立对于电系统
2、，建立微分方程的基本依据是电网络的两个约束特性:1）元件特性约束:表征元件特性的关系式。2）网络拓扑约束:基尔霍夫电压定律（KVL）和基尔霍夫电流定律(KCL)。中国民航大学CAUC2.1微分方程的建立与求解二、微分方程的求解（1）微分方程的全解即系统的完全响应r(t),由齐次解rh(t)和特解rp(t)组成齐次解rh(t)的形式由齐次方程的特征根确定特解rp(t)的形式由方程右边自由项的形式确定中国民航大学CAUC2.1微分方程的建立与求解二、微分方程的求解（2）1.齐次解（自由响应）rh(t)求齐次解rh(t)的方法与步骤：1）写出对应齐次方程的特征方程。
3、2）求解特征方程，得微分方程的n个特征根1,2,…,n。3）由特征方程根写出齐次解rh(t)。中国民航大学CAUC2.1微分方程的建立与求解二、微分方程的求解（3）1.齐次解（自由响应）rh(t)(1)特征根是不等实根1,2,,n(2)1是k重特征根(3)1、2特征根是共轭复根常数A1,A2,,An由系统的初始条件（而非起始条件）决定。中国民航大学CAUC2.1微分方程的建立与求解二、微分方程的求解（4）2.特解（强迫响应）rp(t)求特解rp(t)的方法与步骤：1）由自由项的形式选定特解的函数式。2）将特解代回微分方程，求得特解函数式中
4、的待定系数。中国民航大学CAUC2.1微分方程的建立与求解二、微分方程的求解（5）2.特解（强迫响应）rp(t)常用自由项对应的特解形式中国民航大学CAUC[例]已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程 初始条件r(0)=1,r'(0)=2,输入信号e(t)=e-tu(t)，求系统的完全响应r(t)。2.1微分方程的建立与求解二、微分方程的求解（6）特征根为齐次解rh(t)(1)求齐次方程r''(t)+6r'(t)+8r(t)=0的齐次解rh(t)特征方程为(2)求非齐次方程r''(t)+6r'(t)+8r(t)=e(t)的特解rp(t)解:t>0时：r'
5、'(t)+6r'(t)+8r(t)=e-t中国民航大学CAUC2.1微分方程的建立与求解二、微分方程的求解（7）由输入e(t)的形式，设方程的特解为rp(t)=Ce-t将特解代入原微分方程即可求得常数C=1/3。(3)求方程的全解r(t)A=5/2，B=-11/6中国民航大学CAUC2.1微分方程的建立与求解二、微分方程的求解（8）经典法不足之处若微分方程右边自由项较复杂，则难以处理。若激励信号发生变化，则须全部重新求解。若初始条件发生变化，则须全部重新求解。这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。中国民航大学CAUC2.2起始点的跳变—从0-到
6、0+状态的转换一、起始状态和初始状态的定义（1）1.0-和0+的含义00-0+激励e(t)加入的时刻激励e(t)接入之前的瞬间激励e(t)接入之后的瞬间响应区间（0+t∞）2.起始状态（0-状态）在激励接入之前的瞬时（t=0-）系统的状态中国民航大学CAUC2.2起始点的跳变—从0-到0+状态的转换一、起始状态和初始状态的定义（2）3.初始状态（0+状态）在激励接入之后的瞬时（t=0+）系统的状态注意!若r(k)(0+)r(k)(0-)，则表明系统的起始状态发生了跳变；若r(k)(0+)=r(k)(0-)，则r(k)(t)在0点连续。若微分方程的“自由项
7、”包含(t)及其各阶导数，则r(k)(0+)r(k)(0-);否则r(k)(0+)=r(k)(0-)。微分方程齐次解的系数A1,A2,,An由系统的初始条件而非起始条件决定。中国民航大学CAUC2.2起始点的跳变—从0-到0+状态的转换二、初始状态的确定（1）1）若微分方程的“自由项”不包含(t)及其各阶导数，则r(k)(0+)=r(k)(0-)。2）若微分方程的“自由项”包含(t)及其各阶导数，则r(k)(0+)r(k)(0-)，这时可用冲激函数匹配法由r(k)(0-)求得r(k)(0+)。中国民航大学CAUC2.2起始点的跳变—从0-到0+状态
8、的转换二、初始状态的确定（2）相对单位
