信号与系统第二章连续时间系统的时域分析

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1、第二章连续系统的时域分析系统的数学模型系统方程的算子表示法零输入响应冲激响应卷积积分与零状态响应1第二章第1讲§1引言常系数线性微分方程的求解时域法直接求解卷积法变换域法傅里叶变换法（频域分析法）拉普拉斯变换法（复频域分析法）2第2章　连续时间系统的时域分析例：写出图示电路的微分方程。根据KVL有L　　　　R+e（t）C根据各元件端电压与电流的关系-i（t）￬整理后代入KVL式，得建立数学模型3第2章　连续时间系统的时域分析例列出电路的微分方程，变量为i2。解：微分方程为：4第2章　连续时间系统的时域分析描述连续时间系统激励

2、与响应关系的数学模型一般，对于一个线性系统，其输入与输出之间关系，总可以用下列形式的微分方程来描述：5第2章　连续时间系统的时域分析全响应=齐次方程通解+非齐次方程通解（自由响应）（受迫响应）全响应=零输入响应+零状态响应（解齐次方程）（叠加积分法）卷积，杜阿美尔积分时域分析法变换域法（第五章拉普拉斯变换法）微分方程求解n阶常系数微分方程的求解法经典法积分法6第2章　连续时间系统的时域分析经典法经典法的不足之处微分方程的解由两部分组成。一部分是与该方程相应的齐次方程（即令方程式右边为零）的通解，称为齐次解；另一部分是满足此非

3、齐次方程的特解，称为特解。齐次解的形式由齐次方程的特征根确定，特解的形式由方程式右边激励函数的形式确定。作为系统的响应来说，齐次解部分是自然响应，特解部分是受迫响应。（1）若微分方程式右边激励信号较复杂，则难以处理。（2）若激励信号发生变化，则须重新求解。（3）若初始条件发生变化，则须重新求解。（4）这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。经典法求解过程7第2章　连续时间系统的时域分析积分法卷积法分析思路系统的响应划分为零输入响应和零状态响应。（1）将激励信号分解为单位冲激信号的线性组合；（2）求出单位冲激信号

4、作用在系统上的响应—冲激响应；（3）利用线性时不变系统的特性，即可求出激励信号作用下系统的零状态响应。零输入响应：是指输入激励为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。根据齐次方程的特征根确定零输入响应的形式；再由初始条件确定其中的待定系数。零状态响应：指系统的初始状态为零，仅由系统的输入激励单独作用而产生的输出响应。（1）直接求解初始状态为零的非齐次方程。（2）积分法①卷积积分：将函数分解为一系列脉冲函数；②杜阿梅尔积分：将函数分解为一系列阶梯形函数。求解过程8第2章　连续时间系统的时域分析§2系统方程的算子表示法

5、定义则：对于算子方程：其含义是：9第2章　连续时间系统的时域分析微分算子的主要特性微分算子不是代数方程，而是算子记法的微积分方程。式中算子与变量不是相乘，而是一种变换。Ｐ多项式的算子可以像代数量那样进行乘法运算，也可以像代数式那样进行因式分解的运算。算子方程两边的公共因子一般不允许消去。如：但：但在某种情况下公共因子可以消去，如：但简单的如：但10第2章　连续时间系统的时域分析算子符号的一般运算规则11第2章　连续时间系统的时域分析转移算子转移算子：H(p)把激励和响应联系起来，故它可以完整地描述系统。即：若：，则系统的自然

6、频率(特征根)：的根为系统的自然频率或特征根。算子阻抗：对电感：Lp——算子阻抗对电容：——算子阻抗引入了算子阻抗后，网络的微分方程可以通过电路分析课程的分析方法列出。如网孔法、节点法、叠加定理、戴维南定理等。12第2章　连续时间系统的时域分析例1列出电路的微分方程，变量为i2。解：网孔方程为：故，微分方程为：13第2章　连续时间系统的时域分析例2求如图所示电路的转移算子：解：用节点方程可求得：14第2章　连续时间系统的时域分析§3系统的零输入响应全响应＝零输入响应＋零状态响应零输入响应的求法设系统为零输入e(t)=0时，即

7、D(p)r(t)=0齐次微分方程：D(p)r(t)=0，特征方程：D(p)=0为特征根，其中i=1，2，•••，n15第2章　连续时间系统的时域分析零输入响应的一般形式对于一阶系统若有K阶重根，即：为特征根由初始值确定等式两边取不定积分：对于n阶系统若无重根：16第2章　连续时间系统的时域分析零输入响应系数的确定若知n个初始条件：，有：对于n阶系统若无重根：可由此求出n个常数。17第2章　连续时间系统的时域分析例1已知系统的转移算子，初始条件为试求系统的零输入响应rzi(t)。并画出草图。解：令得：代入初值得：解得：故：18

8、第2章　连续时间系统的时域分析例2已知系统的转移算子，初始条件为,试求系统的零输入响应rzi(t)。并画出草图。解：令得：代入初值得：解得：19第2章　连续时间系统的时域分析例：设L＝1H，C＝1F，R＝2Ω，若激励电压源e(t)为零，且电路的初始条件为L　　　　R+e（t）C-i（t）￬