连续时间信号与系统的时域分析

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1、1第2章连续时间信号与系统的时域分析2.1系统微分方程的建立及算子表示2.2零输入响应2.3零状态响应2.4卷积积分2.5LTI连续时间系统时域分析举例122LTI连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线性微分方程。由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故称为时域分析法。这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。32.1系统微分方程的建立及算子表示2.1.1系统方程的算子表示法如上面所示，描写线性系统的激励函数和响应函数间关系的微分方程形式看起来很复杂，为了方便起见，把微分算子用符号p来代表，如令，通过引入算子符号，可以把微积分方程在形式上变成代数方程。它的

2、优点一是简化方程的列写(特别是联立方程消元)，一是通过引入系统转移算子H(p)的概念，便于形成系统分析的统一的方法。先引入算子的定义，再由定义导出其“运算”规则，最后介绍如何用算子法列写微分方程。3积分算子微分算子算子符号452.1系统微分方程的建立及算子表示例用算子法表示下面的微分方程。解:根据微分算子与积分算子的定义，上式可表示为5还可以将上式改写为62.1系统微分方程的建立及算子表示例利用广义微分算子与广义积分算子来表示下面的微分方程。解：由广义微分算子与广义积分算子可写微分方程的算子方程如下其中6微分方程的算子形式算子方程7系统的传输算子892.1系统微分方程的建立及算子表

3、示例2-3求下面微分方程的转移算子H(p)解：可将上述方程改写为根据转移算子的定义，上式可进一步表示为9也即102.1系统微分方程的建立及算子表示2.算子的运算规则（1）由P的多项式所组成的运算符号可以像代数式那样相乘和因式分解。特殊情况：10112.1系统微分方程的建立及算子表示特殊一：这里也像代数式中一样，分子分母中的p可以消去。但是这里除非x(-∞)=0，否则分母和分子中的p就不能消去。这表明在一般情况下，有11122.1系统微分方程的建立及算子表示特殊二：若将式两边积分，可得（c为积分常数）对于等式px=py，双方的算子p一般也不好消去。以上讨论说明，代数量的运算规则对于算

4、子符号一般也可以用，只是在分子分母中或在等式两边中的算子符号不能随便消去。12132.1系统微分方程的建立及算子表示3.算子方程组的消元为了要从一个n阶电路的n元一次算子方程组得到一个形式为的一元n阶算子方程，必须将原方程组中除响应变量.y(t)以外的其他未知量系统消去。在掌握了算子的运算规则之后，就可以较为方便地做到这一点。13电感和电容的算子表示电感算子符号，理解为电感的感抗值电容算子符号，理解为电容的容抗值14电感电容15例题如下图所示电路，为激励信号，响应为，用算子法求其算子方程、传输算子以及微分方程。16利用克莱姆法则，解出:系统函数为：微分方程为：17182.2零输入响

5、应yx(t)2.2.1yx(t)的定义2.2.2yx(t)的求法2.2.3系统的自然模式返回首页1819系统在无外加激励作用下，仅由系统的初始状态所引起的响应称为系统的零输入响应，记为yx(t)。系统的零输入响应完全由系统的结构与状态决定，而与激励信号无关。在式(2-8)中令f(t)=0，得到齐次方程yx(t)就是齐次方程(2-11)的解。2.2.1yx(t)的定义1920其中，D(p)称为系统的特征多项式，方程D(p)=0叫做系统的特征方程，特征方程的根称系统的特征根。先来讨论比较简单的一阶、二阶齐次方程的情况，然后推广至n阶方程。2021一阶与二阶齐次方程的解一阶齐次方程的一般

6、形式为即通过分离变量，上式可改写为2122对两边积分得其中，k是积分常数。从而可得其中，C=ek是待定系数，由系统的初始条件决定。例如，将初始状态yx(o)代入式(2-14)即可得2223从而得到一阶齐次方程的解为二阶齐次方程的一般形式为其中，a,b是常数。其算子方程为2324将上式中的D(p)作因式分解从而将式(2-16)改写为不难看出，λ1与λ2是特征方程D(p)=0的两个特征根由此可以得到满足上述方程的两个一阶方程2425它们的解分别为其中，C1,C2为待定系数。显然，yx1(t)与yx2(t)都是解，且彼此线性无关，因此零输入响应的计算通式为如果给定初始状态为2526将这些

7、条件代入式(2-19)及其微分式可得解之，可得Cl与C2的具体数值，从而最后确定yx(t)。例2-5某系统输入/输出微分算子方程为己知初始条件yx(0)=3，y’x(0)=6，求系统的零输入响应yx(t)。2627解：由题意知因为所以把yx(0)=3，y’x(0)=6，代入上式可得所以系统的零输入响应为2728n阶齐次方程的解上述二阶方程的解，可以推广至n阶方程即首先求出特征方程的n个根λ1，λ2，…，λn。然后将式(2-20)改写为2.2.2yx(t)的求法2829