信号与系统连续时间线性定常系统时域分析

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1、第三章：连续时间线性定常系统时域分析§3.1系统的数学模型LTI系统屮各参量之间的相互关系及其随时间的演化，可以由下列四种模型描述。4R、L、C上的电压与电流关系一一e⑴〜/⑴关系模型(3-1)(3-2)电阻:e⑺二叫，）。，卜Ie（t）RI0图3-1电阻e(t)e(t)i(t)e（t）阁3-2电压作用于电阻产生电流阁3-3电流作用于电阻产生电压♦电感:或：e(t)(3-3)(3-4)图3-4电感上的直流不产生电压e(t)e(t)LPLpi(t)图3-5电流作用于电感产生电压图3-6电压作用于电感产生电流电容:Z(，)=C^(，)=CP小)(3-5)e(z)=*J」⑺dr=*，•⑴(3-

2、6)e(t)-1(0-i⑴1►CpCp—>—i(t)參參1Cp―►—eft/番图3-7电容上的恒压不产生电流e(t)e(t)图3-8电压作用于电容产生电流图3-9电流作用于电容产生电压求和（相加）:>，(0=/i(0±/2(0(3-7)fi(t)—^(0=/i(0±/2(0f2（t）图3-10信号汇聚流图♦分支:fl(t)f2(t)图3-11信号分支流图须注意，信息可以拷贝，可以无限复制；而物质则只能被瓜分式共享。4LTI连续时间系统的状态空间模型：例h如阁3-12电路求：(1)y(z)Dv(z),(2)x,(z)>x2(/)□v(z)解：列冋路电流、电压方程：v(z)=4/1(z)-2

3、/2(Z)义丨(，)=/2⑴<4久_(’)=4(’)-“’)木(，)+功)+2(，’2(，)-“，))=0x2⑴-3z’3⑺=0消去/2、Z3,得下列方程:♦定义(状态)：能够表征系统时域动力学行为的一组最小内部变量组。•物理上，状态的维数dimD(0=系统中独立储能元件的个数•状态的选取可以不唯一♦状态空间模型：

4、勿)=A.X(Z)+B^.⑺V⑺，状紡程(3-9)

5、Y(r)=C^X(/)+D^(r)V(Z),观贝IJ/输出方程(3-10)其中，D(r)=[v,(r),v2(O，，v/r)]7g^[r0,ta],为输入向量(z•维)□«=[4(0,x2⑴，……，x,,(z)fe4[z0,

6、ra]，为状态向量("维)□W=[y,⑴，y2W，……，为输出向量(州维)X(0=[•<(，)，x;⑺，，xn(t)]Tm^rnx/i图3-13系统的状态空间模型♦方程的解为：X(r)=^X(0)+£Z^BV⑺dr(3U)

7、(0)、、(0),求y0)=?求解步骤：(1)求齐次解：由微分方程列特征方程Y+Clfl_i(XnHhCl^CX+6?0=0»求出Z1个特征根％Z*=l,…，M，则齐次解为八⑴=有Z1个待定系数~Z=l,...,/!；对于々重根％,其所对应的齐次解力=有A项。(2)求特解，根据输入信号形式确定；其中待定系数可将特解带入原微分方程通过同类函数对应系数相等来求得。表3-1激励e(z)响应的特解形式E(常数)Btp+Bp+]eatBeatcos(似)B'cos(^)+B2sin(⑽)sin(69f)tpeatcos(^yr)+B2tp-1+…+5/+B/)+})eatcos(M)+(£＞，+D

8、，-1+...+£)/+DpU)ea,sin(^yr)tpe(usin(dzx)注：①表中fi、为待定系数；②若40由多种信号线性叠加而成，则特解也为相应的叠加；③若表中的特解与齐次解相同，用+乘以表中特解作为特解。例如，e(t)=eal,而特征根也是心即齐次解为，，则特解为若“是々重根，则特解为(+B/-'+."+Bk)e'(3)全解=齐次解+特解，代入〃个边界条件，求出第(1)步里的n个待定系数A，z*=i，一^。这里所谓的边界条件视具体问题而定，见下节“初始条件”的讨论。iLTI系统的系统算子模型：♦令：p=l,则微分方程模型化为算子模型：drdr_P/,+A-1Pn-

9、+…+。l

10、P+“()])’(’)=

11、Xp/n+…+/’IP+么]v(’)令：D(p)Dp/l+6zZI_,p/,'1+…+卻+«07V(p)口bmpm+...+blp+b()有：有：冲卜^^⑺口叫)*)(3-13)其中，型D(p)称为系统算子，它对信号的作用不是相乘的关系。♦注意三点:•yv(p)与o(p)的公因式一般不可相消例如：由px=py,不能把两边的p消掉而得因为;v=y+c。•p与1的顺序不可交换P不同的物理系统，输入-输出方程可能