第四讲 分类讨论型问题

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1、分类讨论型问题的解题策略数学思想和方法属于基础知识的范畴，分类讨论是中学数学中常用的一种数学思想方法。近年各地中考试题都加强了数学思想方法的考查，其中分类讨论思想的应用最为广泛，成为检测学生分析问题和解决问题能力的常见题型。分类讨论是在解题过程中，将某一数学对象根据它本身的本质属性，按照一定的原则或标准分成若干类，然后逐类进行讨论解决，再把这几类的结论汇总，得出问题的答案的一种思想方法；其作用是克服思维的片面性，防止漏解。常见的分类讨论题有：按数分类（绝对值概念，实数的分类等）；按字母的取值范围分类（二次根式的化简，一元二次方程概念中二次项不为0等

2、）；按图形的位置分类（如点与直线，直线与圆的位置关系等）。考查方式有填空题，选择题，综合题，特别是在中考压轴题中，往往涉及分类讨论思想。【例题讲解】例1、若是关于x的一元二次方程，求a、b的值解答：当或或或或时，原方程为关于x的一元二次方程，因此，得或或或或解析：结合方程特点，由于x2a+b项的次数是2a+b，-2xa-b项的次数是a–b,因而考虑这两个次数至少有一个为2即可，共有五种情况。按题目的要求解决问题时，考虑问题要全面周到，要把所有可能的情况进行穷举，避免出现少解或漏解的情况。例2、（04年贵阳市）如图，AB是半圆O的直径，BC是弦，点P

3、从点A开始沿AB边向点B以每秒1㎝的速度移动，若AB长为10㎝，点O到BC的距离为4㎝。（1）求弦BC的长；（2）问经过几秒后，△BPC是等腰三角形。点拔：第（2）问中P为动点，使得线段PB、PC的长是变化的，由于在“△BPC是等腰三角形”的条件中，没有指明哪两条边为腰，所以要分三种不同情况进行讨论才能将问题回答完整。解答：（1）过O作OD⊥BC于D，则BD=CD，在Rt△OBD中，用勾股定理求得BD=3∴BC=6（2设经过x秒，△BPC为等腰三角形，∵PA=x，∴PB=10–x①当PB=BC时，10–x=6，∴x=4②当PB=PC时，则P与O点重

4、合，PB=5，10–x=5∴x=5③当PC=BC时，过C点作CE⊥AB于E点，连结AC，在Rt△ABC中，求得AC=8，由AC2–AE2=BC2–BE2，得x=2.8综上所述：经过2.8秒、4秒、5秒时△BPC是等腰三角形。解析：1、本题的第（1）问过O作OD⊥BC于D，OD是“弦心距”线段，见弦作出“弦心距”线段，使用勾股定理和垂径定理解题是圆中常用的作辅助线方法。2、本题的第（2）问是分别将△PBC固定，再求解，体现了由动到静的转化思想及分类讨论思想。与等腰三角形、直角三角形、三角形全等或相似有关的分类讨论的考题是近年中考的热点题型。例3、（0

5、4年济南市）如图，已知直线的图象与、轴交于A、B两点．直线经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2∶1的两部分．求直线的解析式．解答：先求得A(-3,0),B(0,3).如图（1），当直线l把△ABO的面积分为S△AOC∶S△BOC=2∶1时,作CF⊥OA于F，CE⊥OB于E，S△AOB=.则S△AOC，∴AO·CF=3.即∴CF=2.同理，解得CE=1.∴C(-1,2).∴直线l的解析式为如图（2），当直线l把△ABO的面积分为S△AOC∶S△BOC=1∶2时,同理求得C(-2,1).∴直线l的解析式为y=-0.5x　　　.　解析：本

6、题是由语言的模糊性导致分类情况的产生，△AOB是定三角形，“直线OC把△AOB的面积分为2∶1的两部分”时，C点的位置并不确定，出现两种情况，画出符合题意的两种图形分别进行求解即可。本题要求学生通过分析题意画出符合要求的图形，培养学生的分类意识。例4、已知：在△ABC中，∠C=90，AC=BC=8，要在△ABC中剪出一个扇形，使扇形的半径都在△ABC的边上，且扇形的弧与△ABC的其他边相切。（1）请画出符合题意的设计方案示意图；（2）若用剪下的扇形作圆锥的侧面，请计算出此圆锥的底面半径。解：（1）有四种设计方案，(2)如图（a），取AB中点M，以点

7、C为圆心，CM长为半径画弧，分别交BC、AC于D、E两点，连结CM。求得l=2π∵l=2πr，∴2πr=2π，∴r=如图（b），作∠B的平分线交AC于点O，以O为圆心，OC长为半径画弧，交AC于点E，作OM⊥AB于M，则CO=OM，求得l=(8–8)π，∵l=2πr，∴2πr=2(8–8)π，解得r=4–4如图（c），以A为圆心，AC长为半径画弧交AB于D，求得l=2π∴r=1如图(d)，取AB中点O，作OD⊥AC于D，O为圆心，OD长为半径画弧，交AB于E、F两点求得l=4π，∴r=2综上所述：r=或r=44或r=1或r=2解析：这是一道考查学生

8、动手作图能力的设计题。要使扇形的半径都在△ABC的边上，则有两种情况：其一为扇形的顶点在Rt△ABC的一边上，由于直角三角