【数学】上海市交大附中2010-2011学年高二下学期期中考试

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上海交通大学附属中学2010-2011学年度第二学期高二数学期中试卷命题：邰昭东审核：杨逸峰一、填空题（本大题满分42分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分。1..2.抛物线的焦点坐标为.3.双曲线的两条渐近线的夹角为.4.从甲、乙、丙三名学生中任意安排2名学生参加数学、外语两个课外活动小组的活动，有种不同的安排方案。5.若复数在复平面上对应的点在第四象限，则实数t的取值范围是6.6名学生排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，则共有种排法。7.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则实数.8.在抛物线上有一点，且与焦点的距离等于15，,则点坐标为.9.复数是实系数方程的根，则.10.某抛物线形拱桥的跨度为20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需用一根支柱支撑，其中最高支柱的高度是米．（答案保留两位小数）11.已知焦点为的双曲线方程是，则.12.某高校食堂供应午饭，每位学生可以在食堂提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种。现在食堂准备了5种不同的荤菜，若要保证每位学生有200种以上不同的选择，则食堂至少还需要准备不同的素菜品种种.（结果用数值表示）13.从抛物线上一点引其准线的垂线，垂足为，设抛物线的焦点为，且，则的面积为.14.已知双曲线，、分别为左右焦点，为上的任意一点，若，且，则双曲线的虚轴长为.10 二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为(A)、(B)、(C)、(D)的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在对应的空格内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），一律得零分。1.虚数的平方是()(A)正实数;(B)虚数；(C)负实数；(D)虚数或负实数.2.用1,2,3,4,5,这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有()(A)24个(B)30个(C)40个(D)60个3.过点与抛物线只有一个公共点的直线的条数是()(A)1(B)2(C)3(D)44.已知曲线：（），下列叙述中正确的是()(A)垂直于轴的直线与曲线存在两个交点(B)直线（）与曲线最多有三个交点(C)曲线关于直线对称(D)若，为曲线上任意两点，则有三、解答题（本大题满分42分，8+10+10+14）本大题共有4小题，解答下列各题必须写出必要的步骤。5.（本题满分8分）已知复数，求及.6.（本题满分10分，其中第1小题5分，第二小题5分）已知复数（）满足：，且在复平面上的对应点的轨迹经过点（1）求的轨迹；10 （2）若过点，倾斜角为的直线交轨迹于两点，求的面积。1.（本题满分10分）已知关于的方程的两根为、，且，求实数的值。2.（本题满分14分，其中第1小题4分，第二小题4分，第三小题6分）过抛物线上一定点作两条直线分别交抛物线于，，（Ⅰ）若横坐标为的点到焦点的距离为1，求抛物线方程；（Ⅱ）若为抛物线的顶点，，试证明：过、两点的直线必过定点；（Ⅲ）当与的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线的斜率是非零常数。上海交通大学附属中学2010-2011学年度第二学期高二数学期中试卷答案10 一、填空题（本大题满分42分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分。1..解：，，则：，，∴答案是22.抛物线的焦点坐标为.解：∴焦点坐标为3.双曲线的两条渐近线的夹角为.解：渐近线为：∴夹角为：4.从甲、乙、丙三名学生中任意安排2名学生参加数学、外语两个课外活动小组的活动，有种不同的安排方案。解：共有6种5.若复数在复平面上对应的点在第四象限，则实数t的取值范围是解：∴t的取值范围是6.6名学生排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，则共有种排法。解：甲排在队尾：5！=120种排法；甲不排在队尾：（甲有4种排法，此时乙有四种排法，剩下的4名学生有4！）∴一共有：120+384=504种排法7.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则实数.解：渐近线：；直线斜率：，由垂直知：，∴8.在抛物线上有一点，且与焦点的距离等于15，,则点坐标为.解：易知点横坐标为10，代入抛物线方程得：10 ∴点坐标为：或1.复数是实系数方程的根，则.解：∴方程的两根分别是：、，；，∴2.某抛物线形拱桥的跨度为20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需用一根支柱支撑，其中最高支柱的高度是米．（答案保留两位小数）解：抛物线方程为：当时，∴最高支柱的高度是3.84米.3.已知焦点为的双曲线方程是，则.解：∴4.某高校食堂供应午饭，每位学生可以在食堂提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种。现在食堂准备了5种不同的荤菜，若要保证每位学生有200种以上不同的选择，则食堂至少还需要准备不同的素菜品种种.（结果用数值表示）解：答案：7，，,5.从抛物线上一点引其准线的垂线，垂足为，设抛物线的焦点为，且，则的面积为解：过F作于D点，则,又,∴10 ∴1.已知双曲线，、分别为左右焦点，为上的任意一点，若，且，则双曲线的虚轴长为.解：设，，则：，即：；又，所以：，即：；因为，所以：∴，，；所以虚轴长为4二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为(A)、(B)、(C)、(D)的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在对应的空格内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），一律得零分。2.虚数的平方是()(A)正实数;(B)虚数；(C)负实数；(D)虚数或负实数.解：选(D)。3.用1,2,3,4,5,这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有()(A)24个(B)30个(C)40个(D)60个解：先选个位数：，。∴选(A)。4.过点与抛物线只有一个公共点的直线的条数是()(A)1(B)2(C)3(D)4解：三条直线：，；；，切点。∴选(C)。5.已知曲线：（），下列叙述中正确的是()(A)垂直于轴的直线与曲线存在两个交点(B)直线（）与曲线最多有三个交点10 (C)曲线关于直线对称(D)若，为曲线上任意两点，则有解：分四个象限讨论去绝对值符号，其中第二象限没有图像。曲线：，大概图像：综上，选(B)。三、解答题（本大题满分42分，8+10+10+14）本大题共有4小题，解答下列各题必须写出必要的步骤。1.（本题满分8分）已知复数，求及.解：…4分∴，…2分。…2分2.（本题满分10分，其中第1小题5分，第二小题5分）已知复数（）满足：，且在复平面上的对应点的轨迹经过点（1）求的轨迹；（2）若过点，倾斜角为的直线交轨迹于两点，求的面积。解：（Ⅰ）根据题目条件，设轨迹的方程为：，将代入方程，得：10 ，（舍去）所以的轨迹方程是：（…5分（漏掉“”的扣1分）（Ⅱ）直线的方程为：联立方程：∴△OMN的面积…5分1.（本题满分10分）已知关于的方程的两根为、，且，求实数的值。解：Ⅰ当、为实数根时，解得：又，同正：（舍去）同负：…5分Ⅱ当、为虚数根时，∴…5分综上所述：。2.（本题满分14分，其中第1小题4分，第二小题4分，第三小题6分）10 过抛物线上一定点作两条直线分别交抛物线于，，（Ⅰ）若横坐标为的点到焦点的距离为1，求抛物线方程；（Ⅱ）若为抛物线的顶点，，试证明：过、两点的直线必过定点；（Ⅲ）当与的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线的斜率是非零常数。解：（Ⅰ）横坐标为且到焦点距离为1，则∴抛物线方程为：…4分（Ⅱ）根据条件可知，①设过、的直线方程为：，（若m不存在，则直线平行于x轴，与抛物线不可能有两个交点。）则∴，，代入式①得：，，（舍），∴直线方程为：，过定点，命题得证。…4分（Ⅲ）设直线为：，直线为：，则…2分10 …2分∴…1分又（定值），∴命题得证.…1分10