上海市交大附中2017-2018学年下学期高三开学考试数学试题

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62018-7-30上海交大附中2017-2018学年第二学期高三数学摸底考试卷一、填空题（第1题至第6题,每题4分；第7题至12题,每题5分,共54分）1.已知是实数,是虚数单位,若是纯虚数,则____________．2.已知二元一次方程组的增广矩阵是,则此方程组的解是____________．3.为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试,得分（10分制）的频数分布统计图如图所示,如果得分值的中位数为,众数为,平均数为,则、、中的最大者是____________．4.命题：“若、、成等比数列,则”及其逆命题、否命题、逆否命题（这四个命题）中正确的个数是____________．5.已知正数、满足,使得取最小值的实数对是____________．6.不等式的解集为____________．7.已知,则____________．8.在平面直角坐标系中,以正半轴为始边的钝角的终边与圆交于点,点沿圆顺时针移动个单位弧长后到达点,则的取值范围是____________．9.已知三棱锥,底面是边长为2的正三角形,底面,,是中点,则异面直线、所成角的大小为____________．（用反三角函数表示）10.如表给出一个“等差数阵”：其中每行、每列都是等差数列,表示位于第行第列的数,则112在这“等差数阵”中出现的次数为____________． 62018-7-304710……71217……101724…………………………………………11.在平面直角坐标系中,设,是函数图像上的两点,且为正三角形,则的高为____________．12.如图,平面上两点,在直线上取两点使,且使的值取最小,则的坐标为____________．二、选择题（每题5分,共20分）13.某电商设计了一种红色,打开每个红包都会获得三种福卡（“和谐”、“爱国”、“敬业”）中的一种,若集齐三种卡片可获得奖励,小明现在有4个此类红包,则它获奖的概率为（）A.B.C.D.14.设表示三条直线,表示三个平面,给出下列四个命题：①若,则；②若,是在内的射影,,则；③若,则；④若,则,其中真命题为（）A.①②B.①②③C.②③④D.①③④ 62018-7-3015.在平面内,定点满足,,动点满足,则的最大值是（）A.B.C.D.16.设等差数列满足：,且公差,若当且仅当时,数列的前项和取得最大值,则首项的取值范围是（）A.B.C.D.三、解答题17.（本题满分14分）已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）设为钝角三角形,角所对边,角所对边,若,求的面积． 62018-7-3018.（本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分）如图1,在高为2的梯形中,,过、分别作,垂足分别为、,已知,将梯形沿、同侧折起,使得,得空间几何体,如图2．（1）证明：面；（2）求三棱锥的体积．19.（本题满分14分）某小区有一块三角形空地,如图,其中米,米,,开发商计划在这片空地上进行绿化和修建运动场所,在内的点处有一服务站（其大小可忽略不计）,开发商打算在边上选一点,,然后过点和点画一分界线与边相交于点,在区域内绿化,在四边形区域内修建运动场所,现已知点处的服务站与距离为10米,与距离为100米,设米,试问取何值时,运动场所面积最大？20.（本题满分16分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题6分） 62018-7-30已知为坐标原点,圆,定点,点是圆上一动点,线段的垂直平分线交圆的半径于点,点的轨迹为．（1）求曲线的方程；（2）已知点是曲线上但不在坐标轴上的任意一点,曲线与轴的交点分别为、,某直线和分别与轴交于、两点,请问线段之积是否为定值？如果是请求出定值,如果不是请说明理由；（3）在（2）的条件下,若点坐标为,过点的直线与曲线相交于、两点,求面积的最大值．21.（本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分）设是定义在上的函数,若存在,使得在单调递增,在上单调递减,则称为上的单峰函数,为峰点,包含峰点的区间称为含峰区间,其含峰区间的长度为：．（1）判断下列函数中,哪些是“上的单峰函数”？若是,指出峰点；若不是,说出原因；；（2）若函数是上的单峰函数,求实数的取值范围；（3）若函数是区间上的单峰函数,证明：对于任意的,若,则为含峰区间；若,则为含峰区间；试问当满足何种条件时,所确定的含峰区间的长度不大于0.6． 62018-7-30参考答案一、填空题1.12.3.4.2个5.6.7.8.9.10.711.212.二、选择题13.C14.A15.B16.D三、解答题17.（1）；（2）18.（1）证明略；（2）19.6020.（1）；（2）定值为4；（3）21.（1）①是上的单峰函数,峰点为；②不是上的单峰函数；③不是上的单峰函数；④是上的单峰函数,峰点为（2）（3）证明略；