二面角的平面角的四种求解策略

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1、二面角的平面角的四种基本求法及训练O（1）定义法——在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。注：o点在棱上，用定义法。A图3OBl(2)垂线法（三垂线定理法）——利用三垂线定理作出平面角，通过解直角三角形求角的大小。注：o点在一个半平面上，用三垂线定理法。O图5lCBA(3)垂面法——通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角。注：点O在二面角内，用垂面法。ABCDO(4)射影面积法——若多边形的面积是S，它在一个平面上的射影图形面积是S`，则二面角q的大小为COSq=S`÷S例1如图，四面体ABCD中，O是BD的中

2、点，△ABD和△BCD均为等边三角形，AB=2，AC=求二面角A-BC-D的余弦值．（三垂线定理法）10例2 在60°二面角M－a－N内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，求点P到直线a的距离。（垂面法）   例3如图在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E，又SA=AB，BS=BC，求以BD为棱，BDE与BDC为面的二面角的度数。（定义法）EDBASCA例4如图△ABC与△BCD所在平面垂直，且AB=BC=BD，∠ABC=∠DBC=，求二面角A-BD-C的余弦值。（补棱法和射影面积法）CBD10例5.在

3、四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。（补棱法和射影面积法）练习题1．如图，二面角α-l-β的大小是60°，线段AB⊂α．B∈l，AB与l所成的角为30°．则AB与平面β所成的角的正弦值是2.山坡与水平面成30°角，坡面上有一条与坡角水平线成30°角的直线小路，某人沿小路上坡走了一段路程后升高了100米，则此人行走的路程为3．在一个二面角的一个面内有一个点，它到棱的距离等于到另一个面的距离的2倍，则二面角的度数为。4.在600的二面角的棱上有两点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个面内垂

4、直于AB的线段，已知：AB=6，AC=3，BD=4，则CD=。5．若二面角内一点到二面角的两个面的距离分别为a和，到棱的距离为2a，则此二面角的度数是。6.的二面角内有一点，点到面的距离为2，点到面的距离为11，则点到棱的距离为7.二面角的面内有一条直线,它与的夹角为，与平面的夹角为，则二面角的大小8.在300的二面角的一个面内有一个点，若它到另一个面的距离是10，则它到棱的距离是()A5B20CD109.在直二面角α-l-β中，RtΔABC在平面α内，斜边BC在棱l上，若AB与面β所成的角为600，则AC与平面β所成的角为（）A300B450C600D120010.如图

5、，三棱锥P-ABC中，已知PA⊥平面ABC，PA=3，PB=PC=BC=6，求二面角P-BC-A的正弦值．11.如图，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF=AD=a，G是EF的中点，（1）求证：AG⊥平面BGC；（2）求二面角B-AC-G的正弦值．12.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，M为PD的中点，PA=AB．（I）求直线BC与平面ACM所成角的正弦值；（II）求平面PAB与平面ACM所成锐二面角的余弦值．13.如图，在四面体ABCD中，AB⊥平面ACD，BC=BD=5，AC=4，CD=．（Ⅰ）求该四

6、面体的体积；（Ⅱ）求二面角A-BC-D大小的正弦值．10作二面角的平面角的四种基本方法O（1）定义法——在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。注：o点在棱上，用定义法。A图3OBl(2)垂线法（三垂线定理法）——利用三垂线定理作出平面角，通过解直角三角形求角的大小。注：o点在一个半平面上，用三垂线定理法。O图5lCBA(3)垂面法——通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角。注：点O在二面角内，用垂面法。ABCDO(4)射影面积法——若多边形的面积是S，它在一个平面上的射影图形面积是S`，则二面角q的大小为COS

7、q=S`÷S例1如图PC⊥平面ABC，AB＝BC=CA＝PC，求二面角B－PA－C的平面角的正切值。（三垂线定理法）解 ∵PC⊥平面ABC∴平面PAC⊥平面ABC，交线为AC作BD⊥AC于D点，据面面垂直性质定理，BD⊥平面PAC，作DE⊥PA于E，连BE，据三垂线定理，则BE⊥PA，从而∠10BED是二面角B－PA－C的平面角。设PC＝a，依题意知三角形ABC是边长为a的正三角形，∴D是∵PC=CA=a，∠PCA=90°，∴∠PAC＝45°∴在Rt△DEA   例2 在60°二面角M－a－N内有一点P，P到平面M、平面N的距