二面角大小是通过二面角的平面角的大小来反映的,在求解二

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1、二面角大小是通过二面角的平面角的大小来反映的，在求解二面角的平面角的大小时，要充分运用线与线、线与面、面与面之间的关系，因而它具有综合性强、灵活性大的特点，那么怎样求二面角的平面角呢？根据题目所给条件，一般可分为两种方法：直接法和间接法。一．直接法直接法就是根据已知条件，先作出二面角的平面角，再求平面角的大小的一种方法。按作平面角的方法，直接法又可分为以下几种：1．定义法定义法——即在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，然后在两个半平面内分别作棱的垂线OA、OB，则射线OA、OB所成的角即为所求二面角的平

2、面角.例1已知三棱锥P-ABC中,∠APB=∠BPC=∠CPA=600，求二面角A-PB-C的余弦值.解如图1，在二面角的棱PB上任取一点Q，在半平面PBA和PBC内分别作QM⊥PB,QN⊥PB，交PA、PC于M、N，则由二面角的平面角的定义可知，∠MQN为二面角A-PB-CABCPMNQ图1的平面角，设PQ=a，在Rt△PQM和Rt△PQN中可求得QM=QN=，PM=PN=2a，所以△PMN是等边三角形，MN=2a，在△MQN中，由余弦定理可得cos∠MQN==，即所求二面角的余弦值为.2．垂线法垂线法

3、也叫三垂线定理法——当二面角中出现一个半平面内一点到另一半平面的垂线时（或虽未给出这样的垂线，但由已知条件能够作出这样的垂线），则由三垂线定理或逆定理作出它的平面角，而后求之。垂线法是求解二面角的最常用方法，其关键是寻找或求作一条垂线，即从第一个半平面内的某一个点出发垂直于另一个半平面的直线。C1CABA1B1NQ图2例2如图2，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=900，AB=BB1=1，直线B1C与平面ABC成300角，求二面角B-B1C-A的正弦值。解由直三棱柱性质得平面ABC⊥BCC1B1

4、，过A作AN⊥BC，垂足为N。则AN⊥平面BCC1B1，（AN即为我们要找的垂线）在平面BCB1内作NQ⊥B1C，垂足为Q，连QA，则由三垂线定理可知∠NQA即为二面角B-B1C-A的平面角，∵AB=BB1=1，∠B1CB=300，∴BC=，AC=，∴AN=，又AC⊥AB1，AQ⊥B1C，AB1=，AC=，∴AQ=1，从而sin∠NQA=.3．垂面法垂面法——作一个平面与二面角的棱垂直，则该垂面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角。例3如图3，在平面角为600的二面角α-l-β内有一点P，

5、P到α,β的垂线长分别为PCDlαβE图3PC=3cm，PD=5cm，⑴求CD长；⑵P到棱l的距离为多少？分析根据题中给出的条件PD⊥β，PC⊥α，许多同学会选择下面方法：在α平面内作CE⊥l，垂足为E，连DE,PE，由三垂线定理得l⊥PE，又PD⊥β，∴l⊥DE，∴∠CED为二面角α-l-β的平面角，这种方法虽然容易找到平面角，但在求CD及PE长时要先证P、D、E、C四点共面，从而增加了难度。事实上，用垂面法就可避免这一点。解（1）过P、D、C三点作平面交平面α、β于CE和DE，易证l⊥DE、l⊥CE，

6、即∠CED就是二面角α-l-β的平面角，∴∠CED=600，∠CPD=1200，由余弦定理得CD=7（2）∵l⊥平面PCED，∴l⊥PE，PE就是点P到棱l的距离，又PCED四点共圆，∠PCE=900，∴PE是该圆的直径，由正弦定理得PE=。二、间接法所谓间接法，就是不直接作出二面角的平面角，而是利用一个半平面内的一个平面图形和它在另一半平面上的射影之间的面积关系来求平面角的大小的一种方法。设原来平面图形的面积为S，其射影面积为S射，二面角的大小为θ，则cosθ=（证略）。例4如图4，E为正方体ABCD－

7、A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成角的余A1D1B1C1EDBCA图4弦值.分析平面AB1E与底面A1B1C1D1交线即二面角的棱不明确，若利用直接法作出二面角的平面角，则必须先作两个平面的交线，这给解题带来一定的难度。考虑到三角形AB1E在平面A1B1C1D1上的射影是三角形A1B1C1，从而求得两个三角形的面积即可求得二面角的大小。解设正方体棱长为2a，则a2，又结合余弦定理和三角形面积公式求得a2，三角形AB1E在平面A1B1C1D1上的射影是三角形A1B

8、1C1，所以所求二面角的余弦值为cosθ=.说明：用“间接法”求“无棱”二面角有时显得较为方便。但当计算平面图形的面积较为困难时，对于“无棱”二面角的处理在许多情况下还是采用先找棱的办法。如例4也可用如下解法：解如图5，延长AE交A1C1的延长线于G，连结B1G，则B1G就是平面AB1E与底面A1B1C1D1所成二面角的棱，作C1F⊥B1G，连EF，由三垂线定理易证∠C1FE就是所求的平面角。A1D1B1C1EDBCAFGO图