二面角大小求法的研究

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1、二面角大小求法的研究POBA1、利用定义作出二面角的平面角，并设法求出其大小：例1、如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA⊥α,A∈α,PB⊥β,B∈β.求∠APB的大小.解：设平面∩PABα=OA,平面PAB∩β=OB。∵PA⊥α,аÌα    ∴PA⊥а同理PB⊥а∴а⊥平面PAB又∵OAÌ平面PAB∴а⊥OA  同理а⊥OB. ∴∠AOB是二面角α-а-β的平面角.在四边形PAOB中,∠AOB=120°,.   ∠PAO=∠POB=90°, 所以∠APB=60°2、垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（

2、或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角。CDPMBA例2、如图，ΔABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角P—AC—B的大小为45°。求（1）二面角P—BC—A的正切值；（2）二面角C—PB—A的正切值。解：∵PM丄平面ABC，AC丄AB，∴由三垂线定理得：AC丄AP，∴∠PAB是二面角P—AC—B的平面角，即∠PAB=45°，又AM=AB=2.∴PM=2作MD丄BC于D，连PD，则PD

3、丄BC，             故∠PDM是二面角P—BC—A的平面角  RtΔMBD∽RtΔCAB BM：BC=MD：CA 又BC=5，MD=在RtΔPDM中，tg∠PDM==，故∠PDM=arctg，即二面角P—BC—A的大小为arctg。（2）∵PM丄平面ABC，BM=MA，∴PA=PB，又∠PAB=45°∴PM丄PA，又PM丄平面ABC，BM丄AC，∴PB丄PA，又PM丄平面ABC，BM丄AC∴PB丄AC，故PB丄平面PAC，∴PB丄PC，即∠APC是二面C—PB—A的平面角，在RtΔPAB中，∠PAC=90°，A

4、C=3，PA=，AM=2， ∴tg∠APC=因此二面角C—PB—A的大小为arctg。3、平移或延长（展）线（面）法：将图形中有关线段或平面进行平移或延长（展），以其得到二面角的两个平面的交线。例3、正三角形ABC的边长为10，A∈平面α，B、C在平面α的同侧，且与α的距离分别是4和2，求平面ABC与α所成的角的正弦值。解：设E、F分别为B、C的射影，连EF并延长交BC延长线于D，连AD；AE∵E、F是B、C射影  ∴BE丄α；∵CF丄α  ∴BE∥CF又CF：BE= ，                    ∴C是BD的中

5、点 ∴BC=DC，                                  ∵ΔABC是正三角形∴∠B=∠BCA=∠BAC=60°，      又∠ACB+∠ACD=180°，                               ∴∠ACD=120°又AC=DC，                       ∴∠CAD=∠CDA=30°，又∠BAD=∠BAC+∠CAD，∴∠BAD=90°，∴BA丄AD，又∵AE是AB在平面α上的射影，∴AE⊥AD 又BA⊥AD，平面ABC∩平面α=A，∴∠BAE是平面ABC

6、与α所成的角，∴BE⊥平面α，∴BE⊥AE，∴ΔABC是RtΔSin∠BAE=BE：AB=，即平面ABC与α所成角的正弦值为。4、射影公式：由公式S射影=S斜面*cosθ，作出二面角的平面角直接求出。运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得。AHMD1C1B1A1BCD例4、如图，设M(E)为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面BM(E)D与底面A1B1C1D1所成的二面角余弦值的大小。5、找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因

7、此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角。P例5、如图，已知PA与正方形ABCD所在平面垂直，且AB＝PA，求平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小。ACDB6、化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角例6、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别在BB1、DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D．(1)求证:A1C⊥平面AEF；(2)若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角(或直角)，则在空间中有定理：“若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成角的大小相

8、等．”试根据上述定理，在AB＝4，AD＝3，AA1＝5时，求平面AEF与平面D1B1BD所成角余弦值的大小。D1C1A1B1EFDCBA7、向量法：两平面所成的角的大小与分别垂直于这平面的两向量所成的角（或补角）相等。题例同六，则求（2）的另一方法。EDD1FzyxCBAC1B1A1