二面角大小的求法

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1、二面角大小的求法雨峰工作室ENTER一、复习引入1、二面角及其平面角的定义、范围二面角出现的状态形式范围：[0,π]竖立式横卧式二面角大小的求法2、二面角的类型及基本方法二面角的平面角的常规几何作法ooABoAB定义法垂面法三垂线法A1B1C1ABC射影面积法二面角大小的求法2、二面角的类型及基本方法向量法二面角大小的求法设和分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量的夹角为，结论①或结论②平面与平面所成的二面角的计算公式是：（当二面角为锐角、直角时）（当二面角钝角时）SDCBA例1、如图,在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD中，AD∥BC,∠ABC=9

2、0°，SA⊥平面AC，SA=AB=BC=1，AD=.求面SCD与面SAB所成的角的大小。二、例题讲解二面角大小的求法法1：可用射影面积法来求，这里只要求出S△SCD与S△SAB即可，故所求的二面角θ应满足==SDCBA例1、如图,在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，SA⊥平面AC，SA=AB=BC=1，AD=.求面SCD与面SAB所成的角的大小。二、例题讲解二面角大小的求法解法2：（三垂线定理法）延长CD、BA交于点E，连结SE，SE即平面CSD与平面BSA的交线.又∵DA⊥平面SAB，∴过A点作SE的垂线交于F.如图

3、.EF且AD∥BC∵AD＝BC∴△ADE∽△BCE∴EA＝AB＝SA又∵SA⊥AE∴△SAE为等腰直角三角形，F为中点，又∵DA⊥平面SAE，AF⊥SE∴由三垂线定理得DF⊥SE∴∠DFA为二面角的平面角,∴tanDFA＝即所求二面角的正切值.评注：常规法求解步骤：一作：作出或找出相应空间角；二证：通过简单的判断或推理得到相应角；三求：通过计算求出相应的角。则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(-1，1，0)，D(0，，0)，S(0，0，1)，易知平面SAB的法向量为=(0，，0)；SDCBA例1、如图,在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD中，AD

4、∥BC,∠ABC=90°，SA⊥平面AC，SA=AB=BC=1，AD=.求面SCD与面SAB所成的角的大小。二、例题讲解二面角大小的求法解法3：（向量法）如图，建立空间直角坐标系，设平面SDC的法向量为=(x，y，z)，得∵面SAB与面SCD所成角的二面角为锐角θ令得：。即=(1，2，1)==∴θ=arccos故面SCD与面SBA所成的角大小为arccos评注：通过此例可以看出：求二面角大小（空间面面角等于二面角或其补角）的常规方法是构造三角形求解，其关键又是作出二面角的平面角，往往很不简单。利用建立空间直角坐标系，避开了“作、证”两个基本步骤，通过求两

5、个平面法向量的夹角来达到解决问题的目的，解题过程实现了程序化，是一种有效方法。例2、已知D、E分别是正三棱柱ABC一A1B1C1的侧棱AA1和BB1上的点，且A1D=2B1E=B1C1.求过D、E、C1的平面与棱柱的下底面所成二面角的大小.二面角大小的求法ABAA1B1C1DE解：（几何法）在平面A1B1B内延长DE和A1B1交于F，则F是面DEC1与面A1B1C1的公共点，C1也是这两个面的公共点，连结C1F，C1F为这两个面的交线，所求的二面角就是D-C1F-A1.∵A1D∥B1E，且A1D=2B1E，∴E、B1分别为DF和A1F的中点.∵A1B1=

6、B1F=B1C1，∴FC1⊥A1C1.又面AA1C1C⊥面A1B1C1，FC1在面A1B1C1内，∴FC1⊥面AA1C1C.而DC1在面AA1C1C内，∴FC1⊥DC1.∴∠DC1A1是二面角D-FC1-A1的平面角..由已知A1D=B1C=A1C1，∴∠DC1A1=故所求二面角的大小为F例2、已知D、E分别是正三棱柱ABC一A1B1C1的侧棱AA1和BB1上的点，且A1D=2B1E=B1C1.求过D、E、C1的平面与棱柱的下底面所成二面角的大小.ABAA1B1C1DE解：(向量法）建立如图的空间直角坐标系易知平面A1B1C1的法向量为=(0,0,1),

7、设平面DEC1的法向量为=(x，y，z),而二面角大小的求法课堂小结二面角大小的求法向量法课堂练习：如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD=2，DD1=DA=AB=1，P、Q分别是CC1、C1D1的中点，求二面角B-PQ-D的大小。CABC1QD1A1B1PD二面角大小的求法解：建立如图所示的坐标系D---xyz，，则A(1,0,0)，因DA⊥面PQD，所以是面PDQ的法向量。设为面BPQ的法向量，则从图中可知，二面角B-PQ-D为锐角，因此二面角B-PQ-D的大小为如图，正三棱柱的底面边长为3，侧棱，D是CB

8、延长线上一点，且。求二面角的大小。作业DABCA1B1C1二面角大小的求法谢谢指