二面角大小的求法的归类分析

《二面角大小的求法的归类分析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、二面角大小的求法的归类分析衡阳县三中欧阳志辉湖南祁东育贤中学周友良421600二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式求出二面角的大小。现将二面角大小的求法归类分析如下：一、定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在

2、两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；例1在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求二面角B-PC—-D的大小。　　解（定义法）如图。　AB=AD=a，　过B作BH⊥PC于H，连结DH　　　　DH⊥PC　　　　　故∠BHD为二面角B-PC-D的平面角　　　　　因PB=a,BC=a,PC=a,　　　　　PB·BC=S△PBC=PC·BH　　　　　则BH==DH　　　　　又BD=　　　　　在△BHD中由余弦定理，得：　　cos∠B

3、HD＝　　　　　又0＜∠BHD＜π则∠BHD=　因此，二面角B-PC-D的大小是。二、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；例2在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的大小。　　解：（三垂线法）如图　　　　PA⊥平面BD　　　　过A作AH⊥BC于H，连结PH则PH⊥BC　又AH⊥BC　　　　故∠PHA是二面角P-BC-A的平面角，　　　　在Rt△ABH中，　　　

4、　AH=ABsin∠ABC=aSin30°=　　　　在Rt△PHA中，　　　　tan∠PHA=PA/AH=　　　　则∠PHA=arctan2.　　　　因此，二面角p-BC-A的大小是arctan2。三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；例3在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求二面角B-PC—-D的大小。解（垂面法）如图　　　　　PA⊥平面BD　　　　

5、　BD⊥ACBD⊥BC　　　　　过BD作平面BDH⊥PC于H　　　　　PC⊥DH、BH　　　　　∠BHD为二面角B-PC-D的平面角，因PB=a,BC=a,PC=a,　　　　　PB·BC=S△PBC=PC·BH　　　　　则BH==DH　　　　　又BD=　　　　　在△BHD中由余弦定理，得：　　cos∠BHD＝　　　　　又0＜∠BHD＜π则∠BHD=　因此，二面角B-PC-D的大小是。四、射影法：利用面积射影公式S射＝S原cos,其中为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；例3在四棱锥P-A

6、BCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。　　解（面积法）如图　　　　　同时，BC⊥平面BPA于B　　　　　故△PBA是△PCD在平面PBA上的射影　　　　　设平面PBA与平面PDC所成二面角大小为θ　　　　　则cosθ=θ=45°　　　　　即平面BAP与平面PDC所成的二面角的大小为45°。五、:对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。例5、在四棱锥P-ABCD中，A

7、BCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。解（补形化为定义法）如图将四棱锥P-ABCD补形得正方体ABCD-PQMN，则PQ⊥PA、PD，于是∠APD是两面所成二面角的平面角。在Rt△PAD中，PA=AD，则∠APD=45°。即平面BAP与平面PDC所成二面角的大小为45°　由此可见，二面角的类型和求法可用框图展现如下：　　　　　　　　　　　　电子邮箱zyl2518006@126.com,手机号码13037341167；电话0734251800

8、6