二面角大小的几种求法(归类总结分析)

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1、二面角大小的几种求法二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式求出二面角的大小。I.寻找有棱二面角的平面角的方法(定义法、三垂线法、垂面法、射影面积法)一、定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（特殊点），过该点在两个半平面内作垂直于棱的射

2、线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角。PBαCAEFD例空间三条射线CA、CP、CB，∠PCA=∠PCB=60o，∠ACB=90o，求二面角B-PC-A的大小。解：过PC上的点D分别作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，连EF.∴∠EDF为二面角B-PC-A的平面角，设CD=a，∵∠PCA=∠PCB=600，∴CE=CF=2a，DE=DF=，又∵∠ACB=900，∴EF=，∴∠EDF=1.在三棱锥P-ABC中，APB=BPC=CPA=600，求二面角

3、A-PB-C的余弦值。ABCNMPQ11/112.如图，已知二面角α-а-β等于120°，PA⊥α，A∈α，PB⊥β，B∈β，求∠APB的大小。POBA3.在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求二面角B-PC-D的大小。二、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。例在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的大小。解：如图，PA⊥平面BD，过A作AH⊥BC

4、于H，连结PH，则PH⊥BC　又AH⊥BC，故∠PHA是二面角P-BC-A的平面角。在Rt△ABH中，AH=ABsin∠ABC=aSin30°=；在Rt△PHA中，tan∠PHA=PA/AH=，则∠PHA=arctan2.　5.在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的大小。11/11CBMBAPNK6.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB，AC=BC=1，∠ACB=900，M是PB的中点。(1)求证：BC⊥PC，(2)平面M

5、AC与平面ABC所成的二面角的正切。7.ΔABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角P—AC—B的大小为45°。求（1）二面角P—BC—A的大小；（2）二面角C—PB—A的大小。CDPMBA8.如图，已知△ABC中，AB⊥BC，S为平面ABC外的一点，SA⊥平面ABC，AM⊥SB于M，AN⊥SC于N,(1)求证平面SAB⊥平面SBC(2)求证∠ANM是二面角A－SC－B的平面角.ABCMNS9.第8题的变式：如上图，已知△ABC中，AB⊥BC，S为平面ABC外的一点

6、，SA⊥平面ABC，∠ACB＝600，SA＝AC＝a，(1)求证平面SAB⊥平面SBC(2)求二面角A－SC－BC的正弦值.11/11ABCDA1B1C1D1EO10.如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体，侧棱AA1长为1，底面为正方体且边长为2，E是棱BC的中点，求面C1DE与面CDE所成二面角的正切值。11.如图4，平面⊥平面，∩=l，A∈，B∈，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=，求：二面角A1－AB－B1的大小。图4B1AA1BLEF三、垂面法：已知二面角内一点到

7、两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。例在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求B-PC-D的大小。解：（垂面法）如图，PA⊥平面BD　BD⊥ACBD⊥BC　过BD作平面BDH⊥PC于HPC⊥DH、BH∠BHD为二面角B-PC-D的平面角。11/11因PB=a,BC=a,PC=a,　PB·BC=S△PBC=PC·BH则BH==DH，　又BD=在△BHD中由余弦定理，得：cos∠BHD＝，又0＜∠BHD＜π，则∠B

8、HD=，二面角B-PC-D的大小是。PlCBA12.空间的点P到二面角的面、及棱l的距离分别为4、3、，求二面角的大小.ABCSD13．如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC、SC于D、E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的度数