二面角及二面角的平面角

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1、二面角二面角7/23/2021一、二面角及二面角的平面角平面的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做一个半平面。1、半平面——αlαl二面角7/23/2021从空间一直线出发的两个半2、二面角的定义3、二面角的平面角角的平面角一个平面垂直于二面角的棱，并与两半平面分别相交于射线PA、PB垂足为P，则∠APB叫做二面ABPγβαιαβι平面所组成的图形叫做二面角记作：二面角二面角A`B`P`γ`∠A`P`B`与∠APB是否相等?思考??相等(利用等角定理)注：二面角的平面角取值范围是:[00,1800]7/23/2

2、021注：二面角的平面角的特点：3）角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内10lOABAOB(1)(2)7/23/2021二.作二面角的平面角的常用方法①、点P在棱上②、点P在一个半平面上③、点P在二面角内ιpαβABABpαβιABOαβιp—定义法—三垂线定理法—垂面法二面角7/23/20211、如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一点，则二面角P-BC-A的平面角为:A.∠ABPB.∠ACPC.都不是基础练习2、已知P为二面角内一点，且P到两个半平面的距离都

3、等于P到棱的距离的一半，则这个二面角的度数是多少？pαβιABOABCP60º二面角7/23/2021例1.如图，已知P是二面角α-AB-β棱上一点，过P分别在α、β内引射线PM、PN，且∠MPN=60º∠BPM=∠BPN=45º，求此二面角的度数。βαABPMNCDO解：在PB上取不同于P的一点O，在α内过O作OC⊥AB交PM于C，在β内作OD⊥AB交PN于D，连CD，可得∠COD是二面角α-AB-β的平面角设PO=a，∵∠BPM=∠BPN=45º∴CO=a，DO=a，PCa，PDa又∵∠MPN=60º∴CD=PCa∴

4、∠COD=90º因此，二面角的度数为90ºaOPC二面角7/23/2021例2．如图P为二面角α–ι–β内一点，PA⊥α,PB⊥β,且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。过PA、PB的平面PAB与棱ι交于O点∵PA⊥α∴PA⊥ι∵PB⊥β∴PB⊥ι∴ι⊥平面PAB∴∠AOB为二面角α–ι–β的平面角又∵PA=5，PB=8，AB=7由余弦定理得∴∠P=60º∴∠AOB=120º∴这二面角的度数为120º解：βαABPιO二面角7/23/2021OABPC取AB的中点为E，连PE，OE∵O为AC中点，∠ABC=9

5、0º∴OE∥BC且OEBC在Rt△POE中，OE，PO∴∴所求的二面角P-AB-C的正切值为例3．如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面Rt△ABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC=，求二面角P-AB-C的正切值。∴∠PEO为二面角P-AB-C的平面角在Rt△PBE中，BE，PB=1，PEOE⊥AB，因此PE⊥ABE解：EOP二面角7/23/2021二面角的计算：1、找到或作出二面角的平面角2、证明1中的角就是所求的角3、计算出此角的大小一“作”二“证”三“计算”167/23/2021练习1：已

6、知Rt△ABC在平面α内，斜边AB在30º的二面角α-AB-β的棱上，若AC=5，BC=12，求点C到平面β的距离CO。βαACBOD练习2：已知棱长为1正方体ABCD-A1B1C1D1,求二面角C1-BD-B1的大小。二面角Oarccos7/23/2021二、二面角的平面角一、二面角的定义从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角1、定义2、求二面角的平面角方法①点P在棱上②点P在一个半平面上③点P在二面角内ABPγβαι小结二面角二面角αβιABαβιpιpαβABpαβιABO—定义法—三垂线定理法—垂面法

7、二面角7/23/2021αβABCD作业:1、A为二面角α–CD–β的棱CD上一点，AB在平面α内且与棱CD成45º角，又AB与平面β成30º，求二面角α–CD–β的大小。作业二面角二面角二面角2、做《状元之路》考点727/23/2021