二面角平面角求法

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1、二面角二面角教学目的：1.掌握二面角的概念。2.掌握二面角的一般作法。3.熟练掌握二面角的求解方法。4.能在复杂图形中找到二面角。5.提高空间想象能力和综合解题能力返回主页二面角的定义从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角二面角αβι返回主页这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面记作二面角的平面角的定义以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角二面角的平面角二面角的平面角的三个特征:1.点在棱上2.边在面内3.

2、边与棱垂直AOBl二面角的平面角范围：点P在棱上ABβ定义法二面角pια返回主页讲解例题常见的图形例1.如图，已知P是二面角α-AB-β棱上一点，过P分别在α、β内引射线PM、PN，且∠MPN=60º∠BPM=∠BPN=45º，求此二面角的度数。βαABPMNCDO解：在PB上取不同于P的一点O，在α内过O作OC⊥AB交PM于C，在β内作OD⊥AB交PN于D，连CD，可得∠COD是二面角α-AB-β的平面角设PO=a，∵∠BPM=∠BPN=45º∴CO=a，DO=a，PCa，PDa又∵∠MPN=60

3、º∴CD=PCa∴∠COD=90º因此，二面角的度数为90ºaOPC二面角返回主页O90°试一试垂面法点P在二面角内ABO二面角pβαι返回主页讲解例题常见的图形例2．如图P为二面角α–ι–β内一点，PA⊥α,PB⊥β,且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。过PA、PB的平面PAB与棱ι交于O点∵PA⊥α∴PA⊥ι∵PB⊥β∴PB⊥ι∴ι⊥平面PAB∴∠AOB为二面角α–ι–β的平面角又∵PA=5，PB=8，AB=7由余弦定理得∴∠P=60º∴∠AOB=120º∴这二面角的度数为120º

4、解：βαABPιO二面角返回主页三垂线法点P在一个半平面上pαιβAB返回主页讲解例题常见的图形OABPC取AB的中点为E，连PE，OE∵O为AC中点，∠ABC=90º∴OE∥BC且OEBC在Rt△POE中，OE，PO∴∴所求的二面角P-AB-C的正切值为例3．如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面Rt△ABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC=，求二面角P-AB-C的正切值。∴∠PEO为二面角P-AB-C的平面角在Rt△PBE中，BE，PB=1，PEOE⊥AB，因此PE⊥A

5、BE解：EOP二面角返回主页ABCOcos=三角形ABC在平面N内的射影为BCO三角形ABC的面积为S，三角形BCO的面积为S射面积法返回主页讲解例题常见的图形αβ例4、如图，设E为正方体的边CC1的中点，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成角的余弦值。△AB1E在底面A1B1C1D1上的射影为△A1B1C1，故这两个平面所成二面角的余弦值为ABCDA1B1C1D1E返回主页M二面角的求法总结⑴定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。此法

6、得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是我们首选的方法。⑵三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这个点和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，计算简便，所以我们常用此法。⑶垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这一点不好选择，所以此法一般不用。⑷以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。⑸射影法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式,这种方法虽然避免了找平面角，

7、但计算较繁，所以不常用。二面角的平面角求二面角的平面角方法①点P在棱上②点P在一个半平面上③点P在二面角内小结二面角二面角ABαβιpιpαβABpαβιABO—定义法—三垂线法—垂面法二面角④射影法