确定二面角大小的方法

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1、确定二面角大小的方法求二面角的大小是高考的一个热点，但对学生来说又是一个难点。难在用向量的夹角公式（、分别为二面角的面的一个法向量）算出后，不知道二面角的大小为或-。因为要结合图形看二面角的平面角是锐角或钝角才能确定答案。这对有些题，学生不易办到。在许多资料上遇到求二面角的大小时，只给出答案，避而不谈为什么。另外对于出“求二面角大小”的题也有局限性。因此本文介绍一个简便的方法，用于判断二面角的大小为或-。aa引理1：如果、的方向如图（1）所示，那么二面角的大小为-。如果、的方向如图（2）所示，那么二面角的大小为。aa图（2）图（1）图（3）R

2、Q（Q）P引理1的证明比较简单，本文从略。引理2：若平面的一个法向量为，点P在平面内，点Q在平面外，若＞0，则和的方向指向平面的同侧；若.＜0，则和的方向指向平面的两侧。证明：如图（3）所示，作=，则⊥，若＞0，则＞0，∴∠∈，∴和的方向指向平面的同侧，即和的方向指向平面的同侧。若＜0，则＜0，∴∠∈，∴和的方向指向平面的两侧，即和的方向指向平面的两侧。PaQ图（4）aPQ图（5）定理：在二面角的棱a上任取一点，在该二面角内任取一点，平面的一个法向量分别为、，若与同号，则二面角的大小为-；若与异号，则二面角的大小为。证明：若与同号，则与同正或

3、同负。当与同正时，由引理2得与的方向指向平面的同侧，并且与的方向指向平面的同侧。如图（4）所示，再由引理1得二面角的大小为-。当与同负时，由引理2得与的方向指向平面的两侧，并且与的方向指向平面的两侧。如图（5）所示，再由引理1得二面角的大小为-yxzABCSMD图（6）若与异号，同理易得二面角的大小为。例1（2009年全国高考）如图（6）所示，四棱锥中，底面为矩形，⊥底面，=，==2，点在侧棱上，∠=（1）证明：为侧棱的中点。（2）求二面角的大小（1）证明：略。（2）解：由已知建立如图（6）所示的空间直角坐标系。∵=，==2，∴（，0，0），

4、（0，2，0），（0，0，2）。又∵底面为矩形，∴（，2，0），由（1）知为侧棱的中点，∴（0，1，1）。设平面的一个法向量为=（a，b，c），则，，∴a=c，b=c，令c=1，得=（，1，1）。同理可得平面ABM的一个法向量=（1，0，）。∴由向量夹角公式得=。设SB的中点N，则N（1，1），∴在二面角的棱上取一点A，在二面角内取一点N，则=（-1，1），又∵=1＞0，=＞0∴由本文定理有二面角的大小为-=-arccos。zxyABCD图（7）E例2（2007年山东高考）如图（7）所示，在直四棱柱-中，已知===，⊥，∥。（1）设是的中点，

5、求证：∥平面（2）求二面角的余弦值。解：（1）略。（2）∵直四棱柱-，又∵⊥，∴建立如图（7）所示的空间直角坐标系，设=1，∵===，∴=1，=2，=2，∴，，，∵∥，∴，∴=（1，0，2），=（1，1，0），设平面的法向量为=（a，b，c），则=0，=0，∴a=-2c，b=2c，令c=-1，得=（2，-2，-1）。同理可得平面的一个法向量=（1，-1，1）。∴由向量夹角公式得=。在二面角的棱上取一点，在二面角内取一点，∴=（0，0，2），∵=-2＜0，=2＞0，∴由本文定理有二面角的大小为=arccos，∴二面角的余弦值为。综上所述：确定二

6、面角大小的“定海神针”就是一个向量，它的起点在二面角的棱上，它的终点在二面角内。若与同号，则它的大小为-。若与异号，则它的大小为。