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1、如何利用空间向量准确确定二面角的大小摘要：使用空间向量，使立体几何问题代数化，演绎难度降低，解题路子更宽阔，用简单的代数运算取代了复杂的几何证明和纷繁复杂的辅助线，解题思路方向明确。特别是对于解决空间二面角问题，不必为如何解（证）和做辅助线问题而煞费苦心.但是对于两向量所成的角什么时候就是所求二面角，正确理解和准确掌握两向量所成角与所求二面角之间的大小关系,对求二面角有重要的意义，对解决高考中的二面角问题有着重要的指导作用。关键词：空间直角坐标系、二面角、法向量、二面角的内部、外部、相等、互补。向量由于融形、数于一体，具有几何形式和代数形式的“双重身份”，拓展了中学数
2、学问题解决的思维空间.近几年的高考立体几何知识内容的考察一般以“方便建系”及“常规方法”为原则，使得考生能自由选择解法，即常规方法或向量解法，相比较向量法使将立体几何问题代数化，避免了复杂的几何证明和纷繁复杂的辅助线，化复杂为简单，成为解决立体几何问题的重要工具。题干一般以“关系”证明，空间角、距离、截面面积、体积计算为求解目标。从2007年全国各地19套37份试卷和近几年的高考试题来看，空间二面角成为考察的重点和难点。但是，用空间向量知识解决立体几何中的二面角问题时我们往往会这样一类棘手的问题，两向量所成角的大小是否就是所求二面角的大小，即两向量所成角与所求二面角相
3、等还是互补。而利用空间向量求二面角一般有以下两种方法方法一：图1：如图1所示，在二面角的棱上确定两个点，过分别在平面内求出与棱垂直的两向量（起点或终点一般选取平面内的某一特殊点），则二面角的大小等于向量的夹角，即显然用此方法中==，二面角的大小即为所成角的大小。如：-5-[例1]（2007年全国卷II理19文20（2））如图3，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面分别为的中点．AEBCFSDMyzx图2（例1图）（1）证明平面；（2）设，求二面角的大小．（1）证明如图略（2）空间向量解法：如图，建立空间直角坐标系．不妨设，则，在上取一点M，使得，设又，由得，所以又且，所
4、以向量和的夹角等于二面角的平面角．．所以二面角的大小为．再如2006年高考数学江苏卷第19题第（3）问，等。此方法避免复杂的辅助线，并能直接准确地确定二面角的平面角的大小。方法二：利用法向量求二面角的大小：首先引入“二面角”定义（新课标苏教版必修2）：一般地，一条直线和由这条直线出发两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的大小范围是。其次在二面角中给出下面定义：二面角的内部和外部：由二面角的大小知二面角的大小即把半平面绕棱旋转到与半平面-5-重合时旋转过的最小角度。此时旋转过的区域称为二面角的内部，未旋转过的区域称为二面角的外部（如图3）。图3内外外构造二面角的两个
5、半平面的法向量，由于向量的可任意自由平移性,我们可以把两法向量平移至相交，并与二面角的平面角放在同一平面内。设二面角的大小为，向量的夹角为。下面分为三种情况来研究两法向量所成角与二面角的大小关系：情况一，两法向量都由“外”指向“内”（如图4甲）。图4甲外外内OABC我们把两法向量平移至相交于点C，并与二面角的平面角放在同一平面OACB内。则四边形OACB中,,,。此时，。情况二，两法向量都由“内”指向“外”（如图4乙）。同上在四边形OACB中,,图4乙外外内OABC,。此时也有，。图4丙外外OABC内图4丁外外内OABC情况三：两法向量一个由“内”指向“外”，一个由“
6、外”指向“内”（如图4丙、丁）。而此时在四边形OACB中,,，而。-5-所以此时有，。由上面我们可以得到两法向量所成角与二面角的平面角的大小之间的这样一个规律：“同向”（两法向量都由“外”指向“内”或由“内”指向“外”）互补，“异向”（两法向量一个由“内”指向“外”，一个由“外”指向“内”）相等。即同向时二面角的平面角，异向时二面角的平面角。这就解决了我们利用法向量求二面角的大小时的尴尬。如“显然该二面角为钝角（锐角）”等一些不严密的逻辑推理。如：[例2](2007年安徽卷理17(Ⅲ)）如图5,在六面体中,四边形ABCD是边长为2的正方形,四边形是边长为1的正方形,平
7、面,平面ABCD,（Ⅰ）(Ⅱ)略(Ⅲ)求二面角的大小(用反三角函数值表示).(Ⅲ)解（法向量解法）：xyzABCDA1B1C1D1内外外图5以D为原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图5)则有A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0)A1(1,0,2),B1(1,1,2),C1(0,1,2),D1(0,0,2)设为平面A1ABB1的法向量，则。设设为平面B1BCC1的法向量，则-5-。设二面角的平面角为，两法向量“同向”（都由“内”指向“外”），如上图5，所以两法向量所成角与所求二面角的平面角互补（
